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第1章 预备知识 1

1.1 函数 1

1.1.1 实数与区间 1

1.1.2 邻域 2

1.1.3 函数的概念 3

1.1.4 函数表示法 3

1.1.5 分段函数 4

1.2 函数的性质 5

1.2.1 函数的有界性 5

1.2.2 函数的单调性 5

1.2.3 函数的奇偶性 6

1.2.4 函数的周期性 6

1.3 反函数与复合函数 7

1.3.1 反函数 7

1.3.2 复合函数 8

1.4 初等函数 8

1.4.1 基本初等函数 8

1.4.2 初等函数 12

1.5 数学建模 12

1.6 空间解析几何简介 13

1.6.1 空间直角坐标系 13

1.6.2 空间两点间的距离 14

1.6.3 曲面与方程 15

习题一 16

基础篇 21

第2章 极限与连续 21

2.1 函数的极限 21

2.1.1 数列的极限 21

2.1.2 函数的极限 22

2.1.3 函数极限的性质 25

2.2 无穷小量与无穷大量 25

2.2.1 无穷小量 25

2.2.2 无穷大量 26

2.2.3 无穷小量与无穷大量的关系 26

2.3 极限的运算法则 26

2.4 极限存在的准则和两个重要极限 29

2.4.1 极限存在的准则 29

2.4.2 两个重要极限 30

2.5 无穷小量的比较 32

2.6 函数的连续性与间断点 34

2.6.1 函数的连续性 34

2.6.2 函数的间断点 36

2.6.3 初等函数的连续性 38

2.6.4 闭区间上连续函数的性质 38

习题二 40

第3章 导数与微分 42

3.1 导数的概念 42

3.1.1 引入导数概念的实例 42

3.1.2 导数的定义 44

3.1.3 导函数 46

3.1.4 导数的意义 48

3.1.5 可导与连续的关系 48

3.2 函数的求导法则 49

3.2.1 导数的四则运算法则 49

3.2.2 反函数的导数 50

3.2.3 复合函数的导数 52

3.2.4 函数的求导法则与导数公式 53

3.3 隐函数的导数和高阶导数 54

3.3.1 隐函数的导数 54

3.3.2 高阶导数 55

3.4 微分 56

3.4.1 微分的概念 56

3.4.2 微分的基本公式与运算法则 58

3.4.3 微分形式不变性 59

3.4.4 函数的线性近似 60

习题三 61

第4章 导数的应用 65

4.1 微分中值定理 65

4.1.1 罗尔定理 65

4.1.2 拉格朗日中值定理 66

4.1.3 柯西中值定理 68

4.2 洛比达法则 68

4.2.1 0/0型与∞/∞型未定式 69

4.2.2 其他类型的未定式 71

4.3 函数的单调性及应用 72

4.3.1 函数的单调性 72

4.3.2 单调性的应用 74

4.4 函数的极值 74

4.5 函数的最大值与最小值及最优化问题 78

4.5.1 函数的最大值与最小值 78

4.5.2 最优化问题 79

4.6 曲线的凹向与拐点 80

习题四 82

第5章 不定积分 85

5.1 不定积分的概念 85

5.1.1 原函数的概念 85

5.1.2 不定积分的概念 86

5.1.3 不定积分的几何意义 87

5.2 不定积分的性质及基本公式 88

5.2.1 不定积分的性质 88

5.2.2 不定积分的基本公式 88

5.2.3 直接积分法 89

5.3 换元积分法 90

5.3.1 第一类换元积分法（凑微分法） 90

5.3.2 第二类换元积分法 92

5.4 分部积分法 94

习题五 95

第6章 定积分 98

6.1 定积分的概念 98

6.1.1 引入定积分概念的实例 98

6.1.2 定积分的定义 101

6.1.3 定积分的意义 101

6.2 定积分的基本性质 102

6.3 微积分基本定理 104

6.3.1 变上限积分 104

6.3.2 微积分基本定理 106

6.4 定积分的换元积分法和分部积分法 107

6.4.1 定积分的换元积分法 107

6.4.2 定积分的分部积分法 109

6.5 定积分的应用 110

6.5.1 平面图形的面积 110

6.5.2 旋转体的体积 113

6.5.3 平行截面积为已知的立体的体积 114

6.6 广义积分 115

6.6.1 无穷区间上的广义积分 115

6.6.2 无界函数的广义积分 116

习题六 117

提高篇 123

第7章 多元函数微分学 123

7.1 二元函数的基本概念 123

7.1.1 二元函数的概念 123

7.1.2 二元函数的定义域 124

7.1.3 二元函数的图像 125

7.2 二元函数的极限与连续 126

7.2.1 二元函数的极限 126

7.2.2 二元函数连续的概念 127

7.2.3 二元连续函数在有界闭区域上的性质 127

7.3 偏导数 128

7.3.1 函数的改变量 128

7.3.2 偏导数 128

7.3.3 高阶偏导数 129

7.4 全微分及其应用 130

7.5 复合函数与隐函数的微分法 132

7.5.1 复合函数的微分法 132

7.5.2 隐函数的微分法 133

7.6 函数的极值 134

7.6.1 函数的极值 134

7.6.2 最优化问题 136

7.6.3 条件极值 137

习题七 139

第8章 多元函数积分学 141

8.1 二重积分的基本概念 141

8.1.1 曲顶柱体的体积 141

8.1.2 二重积分的概念 142

8.1.3 二重积分的几何意义 143

8.2 二重积分的性质 143

8.3 二重积分的计算 144

8.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算 145

8.3.2 在极坐标系下二重积分的计算 149

8.4 二重积分的应用 151

8.4.1 立体的体积 152

8.4.2 曲面的面积 152

8.4.3 计算普哇松积分 153

习题八 153

第9章 无穷级数 155

9.1 数项级数 155

9.1.1 数项级数的概念 155

9.1.2 数项级数的基本性质 157

9.2 正项级数 158

9.2.1 基本定理 158

9.2.2 正项级数的常用判别法 159

9.3 任意项级数 162

9.3.1 交错级数 162

9.3.2 绝对收敛与条件收敛 163

9.4 幂级数 164

9.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域 164

9.4.2 幂级数的性质 167

9.5 函数展开成幂级数 168

9.5.1 泰勒公式与麦克劳林公式 168

9.5.2 泰勒级数与麦克劳林级数 169

9.5.3 函数展开成幂级数 169

9.6 幂级数的应用 172

9.6.1 函数值的近似计算 172

9.6.2 求常数项级数的和 173

9.6.3 计算定积分 173

9.6.4 求极限 174

习题九 174

第10章 常微分方程 177

10.1 常微分方程的一般概念 177

10.2 一阶微分方程 178

10.2.1 可分离变量的微分方程 179

10.2.2 齐次微分方程 180

10.2.3 一阶线性微分方程 180

10.3 二阶常系数线性微分方程 183

10.3.1 二阶常系数线性微分方程解的结构 183

10.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的通解 185

10.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的特解的求法 186

习题十 188

习题答案 190

参考文献 204