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1 数值分析基础概念／备用数学材料 1

【基本教学内容】 1

1.1关于数值分析 1

1.2误差基本概念与误差分析初步 2

1.2.1绝对误差／相对误差 2

1.2.2有效数字（位数） 3

1.2.3截断误差／舍入误差／初始数据误差 5

1.2.4函数计算的误差分析 6

1.3病态问题与条件数／数值稳定性 8

1.3.1病态问题与条件数 8

1.3.2算法数值稳定性 9

1.4数值算法设计与实现 11

【备用数学材料】 14

1.5数学分析中的几个重要概念 14

1.5.1Taylor（泰勒）公式 14

1.5.2大O记号 14

1.5.3上确界和下确界 15

1.5.4函数序列的一致收敛性 16

1.6几种重要矩阵及相关性质 17

1.6.1对称正定矩阵 17

1.6.2正交矩阵／相似矩阵 17

1.6.3初等矩阵与初等变换 18

1.6.4矩阵特征值／矩阵谱半径 20

1.7线性空间概要 23

1.7.1线性空间 23

1.7.2范数／赋范线性空间 25

1.7.3内积／内积空间 25

1.8正交多项式 28

1.8.1正交多项式及正交化方法 28

1.8.2Legendre（勒让德）多项式 32

1.8.3Chebyshev（切比雪夫）多项式（第一类） 33

1.8.4其他正交多项式 34

1.9向量范数／矩阵范数 35

1.9.1向量范数 35

1.9.2矩阵范数 36

1.10附录：计算机中数的表示和舍入误差 39

1.10.1定点表示与定点数 39

1.10.2浮点表示与浮点数 39

1.10.3单精度与双精度／舍入误差 40

1.10.4计算机算术运算规则 41

习题1 42

2 函数插值方法 45

【基本教学内容】 45

2.1插值问题的提法／多项式插值的存在惟一性 45

2.2Lagrange插值公式 46

2.2.1线性插值／二次插值 47

2.2.2n次Lagrange插值 48

2.2.3余项公式 49

2.3带导插值：Hermite插值公式 51

2.3.1带导插值的提法 51

2.3.2Hermite插值公式及其余项公式 52

2.3.3Hermite插值的两种常用情形 53

2.4分段低次插值 55

2.4.1Runge（龙格）现象 55

2.4.2分段线性插值 56

2.4.3分段三次Hermite插值 59

【较深入内容或参考材料】 60

2.5均差与差分／Newton插值公式 60

2.5.1均差及其性质 61

2.5.2Newton插值公式及其余项 63

2.5.3重节点均差与Newton型Hermite插值公式 66

2.5.4差分及其性质 71

2.5.5等距节点的Newton插值公式 73

2.6样条函数及三次样条插值 74

2.6.1基本概念 75

2.6.2三弯矩插值法 76

2.6.3三转角插值法 80

2.7B样条插值 82

2.7.1m次样条函数空间 82

2.7.2B样条基函数 84

2.7.3B样条函数的性质 84

2.8二元函数插值（初步） 86

2.8.1矩形区域上的二元函数插值 86

2.8.2三角形区域上的线性插值 88

习题2 89

3 曲线拟合／连续函数逼近 94

【基本教学内容】 94

3.1拟合问题与逼近问题（概述） 94

3.2曲线拟合的（线性）最小二乘法 95

3.2.1最小二乘拟合问题的提法 95

3.2.2最小二乘解的解法：法方程 96

3.3最小二乘的相关问题及例 100

3.3.1指数模型与双曲线模型的线性化拟合 100

3.3.2算术平均：最小二乘意义下误差最小 103

3.3.3超定方程组（矛盾方程组）的最小二乘解 103

3.3.4法方程Aα=d矩阵形式ATAα=ATd 104

3.3.5多元最小二乘拟合 106

3.4基于正交多项式的曲线拟合 106

【较深入内容或参考材料】 109

3.5连续函数的最佳平方逼近 109

3.5.1最佳平方逼近问题的提法 109

3.5.2最佳平方逼近的解法：法方程 110

3.5.3基于正交函数的最佳平方逼近 112

3.6连续函数的最佳一致逼近 115

3.6.1一致逼近问题的提法 115

3.6.2最佳一致逼近多项式的求法 116

3.6.3最佳一致线性逼近 118

3.6.4Remes算法 119

3.7周期函数逼近与快速Fourier变换 120

3.7.1最佳平方逼近与三角插值 120

3.7.2快速Fourier变换 122

习题3 125

4 数值微分／数值积分 129

【基本教学内容】 129

4.1微积分计算存在的问题／数值积分的基本概念 129

4.1.1微积分计算存在的问题 129

4.1.2数值积分的基本形式 129

4.1.3插值型求积公式 130

4.1.4代数精度的概念 131

4.2Newton-Cotes型求积公式：梯形公式与Simpson公式 132

4.2.1Newton-Cotes型公式的一般形式 132

4.2.2梯形公式与Simpson公式及其余项 133

4.2.3Newton-Cotes型公式的数值稳定性 134

4.2.4复化梯形公式与复化Simpson公式 135

4.2.5一个典型例子 136

4.3Gauss型求积公式 138

4.3.1Gauss型公式 138

4.3.2Gauss-Legendre求积公式 139

4.3.3Gauss-Chebyshev求积公式 141

4.3.4Gauss型公式的余项、稳定性、收敛性及其他 142

4.4数值微分（公式） 145

4.4.1基于Taylor展开的数值微分公式 145

4.4.2基于插值的数值微分公式 146

【较深入内容或参考材料】 149

4.5外推原理及其在数值微积分中的应用 149

4.5.1Richardson外推原理 149

4.5.2基于外推算法的数值微分 151

4.5.3数值积分的Romberg算法 152

4.6自适应Simpson算法 154

4.7振荡函数积分／广义积分 157

4.7.1振荡函数积分计算 157

4.7.2广义积分计算 159

4.8重积分计算的基本方法 161

4.8.1多重积分化为单重累次积分 161

4.8.2重积分复化求积公式 162

4.8.3重积分Gauss求积公式 164

习题4 165

5 线性代数方程组数值解法——直接法 169

【基本教学内容】 169

5.1线性方程组的一般形式／直接法的基本过程 169

5.1.1n阶线性代数方程组的一般形式 169

5.1.2上三角方程组与回代过程 170

5.1.3下三角方程组与前推过程 170

5.2Gauss消去过程／列主元Gauss消去法 171

5.2.1Gauss消去过程 171

5.2.2顺序Gauss消去法 174

5.2.3列主元Gauss消去法 175

5.2.4列主元Gauss消去法的计算机算法 176

5.3矩阵三角分解：解方程组的直接三角分解法 178

5.3.1矩阵三角分解 178

5.3.2解方程组的直接三角分解法 180

5.4追赶法／平方根法 183

5.4.1解三对角方程组的追赶法 183

5.4.2对称正定矩阵的Cholesky分解与平方根法 187

【较深入内容或参考材料】 190

5.5Gauss-Jordan消去法与求逆矩阵的计算机算法 190

5.5.1Gauss-Jordan消去法 190

5.5.2求逆矩阵的计算机算法 192

5.6改进的平方根法及其计算机算法 194

5.6.1改进的平方根法 194

5.6.2改进的平方根法的计算机算法 197

5.7大型带状矩阵方程组及其解法 198

5.7.1大型带状矩阵方程组 198

5.7.2直接三角分解法解大型带状矩阵方程组 199

5.7.3改进的平方根法解大型对称正定带状方程组 201

5.8直接法误差分析 202

5.8.1扰动误差分析：条件数与病态方程组 202

5.8.2事后误差估计 205

5.8.3舍入误差分析 206

5.8.4解病态方程组的迭代改善算法 208

习题5 208

6 线性代数方程组数值解法——迭代法 213

【基本教学内容】 213

6.1迭代法：基本概念和基本迭代公式 213

6.2Jacobi迭代法／Gauss-Seidel迭代法 214

6.2.1Jacobi迭代公式（格式） 214

6.2.2Gauss-Seidel迭代公式（格式） 215

6.2.3Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 216

6.2.4Gauss-Seidel迭代法的计算机算法 217

6.3迭代法收敛性理论 218

6.3.1收敛性基本定理 218

6.3.2其他定理 220

6.3.3收敛速度问题 223

【较深入内容或参考材料】 224

6.4超松弛迭代法／块迭代法 224

6.4.1逐次超松弛迭代法（SOR） 224

6.4.2超松弛迭代法的收敛性 226

6.4.3块迭代法 227

6.5共轭梯度法 228

6.5.1变分原理 228

6.5.2最速下降法 229

6.5.3共轭梯度法 230

6.6广义极小残量法 232

6.6.1Galerkin原理 232

6.6.2Arnoldi过程 233

6.6.3广义极小残量（GMRES）方法 234

习题6 235

7 非线性方程与方程组的数值解法 239

【基本教学内容】 239

7.1一元非线性方程求根的基本概念与主要思想 239

7.1.1基本概念 239

7.1.2求根的主要思想 240

7.2二分法（对半法） 240

7.3不动点迭代法及其收敛性理论 242

7.3.1不动点迭代法 242

7.3.2收敛性基本定理 244

7.3.3局部收敛性 246

7.3.4收敛速度与收敛阶 247

7.3.5不动点迭代法的计算机算法 248

7.4Newton迭代法 249

7.4.1Newton迭代公式 249

7.4.2Newton迭代法的收敛性（含重根的迭代改善） 250

7.4.3Newton迭代法用于求方根 252

7.4.4Newton迭代法的计算机算法／Newton下山法 253

7.4.5离散Newton迭代法——割线法 253

【较深入内容或参考材料】 254

7.5收敛加速技术研究 254

7.5.1Aitken加速方案 255

7.5.2Steffensen迭代法 256

7.6非线性方程组及其不动点迭代法 257

7.6.1非线性方程组 257

7.6.2非线性方程组的不动点迭代法 258

7.6.3不动点迭代法的收敛性 258

7.7非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton迭代法 260

7.7.1Newton法 260

7.7.2拟Newton法 262

7.8延拓法 265

习题7 268

8 矩阵特征值计算 271

【基本教学内容】 271

8.1矩阵特征值和特征向量 271

8.2乘幂法 271

8.2.1求模最大的特征值的乘幂法 271

8.2.2乘幂法的加速方法 275

8.2.3求模最小的特征值的反幂法 276

8.3求对称矩阵特征值的Jacobi（雅可比）法 278

【较深入内容或参考材料】 283

8.4Householder方法 283

8.5QR方法 288

8.5.1基本的QR方法 288

8.5.2带原点平移的QR方法 289

习题8 294

9 常微分方程数值解法 296

【基本教学内容】 296

9.1常微分方程定解问题／数值解的概念 296

9.1.1基本概念 296

9.1.2初值问题的基本形式 297

9.1.3初值问题解的存在惟一性与Lipschitz条件 298

9.1.4数值问题与数值解 298

9.2初值问题的Euler方法／局部截断误差 299

9.2.1Euler方法 299

9.2.2隐式Euler公式／梯形公式 300

9.2.3改进的Euler公式 301

9.2.4局部截断误差／方法的阶 302

9.3初值问题的Runge-Kutta方法 304

9.3.12阶Runge-Kutta公式 304

9.3.23阶／4阶Runge-Kutta公式 306

9.3.3进一步讨论：自动选步长算法 308

9.4单步法的收敛性与稳定性 309

9.4.1单步法的收敛性 309

9.4.2单步法的绝对稳定性 310

【较深入内容或参考材料】 313

9.5线性多步法及其预测-校正格式 313

9.5.1线性多步法的一般形式 313

9.5.2线性多步法的构建 314

9.5.3几个重要的线性多步法 316

9.5.4预测-校正计算格式 318

9.6线性多步法的收敛性与稳定性 320

9.6.1常系数线性差分方程 320

9.6.2收敛性 321

9.6.3绝对稳定性 323

9.71阶方程组与高阶方程初值问题 324

9.8刚性微分方程组问题（简介） 326

9.9边值问题：差分法／打靶法 328

9.9.1两点边值问题概述 328

9.9.2差分法 329

9.9.3打靶法 332

习题9 335

10 偏微分方程的数值方法 339

【基本教学内容】 339

10.1引言 339

10.2椭圆型方程的差分方法 340

10.2.1差分逼近的基本概念 340

10.2.22阶椭圆型方程边值问题的差分格式 342

10.2.3边界条件的处理 345

10.2.4极值原理与差分格式的收敛性 347

10.3抛物型方程的差分格式 350

10.3.1一维抛物型方程的差分格式 351

10.3.2差分格式的稳定性与收敛性 355

10.4双曲型方程的差分格式 360

10.4.11阶双曲型方程的差分格式 360

10.4.22阶双曲型方程的差分格式 364

【较深入内容或参考材料】 366

10.5谱方法 366

10.6有限元方法简介 371

10.6.1变分问题 371

10.6.2常微分方程边值问题 372

10.6.3椭圆方程边值问题的有限元解法 379

习题10 385

习题参考答案 389

参考文献 411