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第一章 函数与极限 1

1.1 函数的概念 1

一、函数的定义 1

二、函数的表示法和函数记号 2

三、函数的定义域 4

四、函数的几种特性 5

习题1-1 7

1.2 反函数、复合函数、初等函数 8

一、反函数 8

二、复合函数 9

三、基本初等函数 10

四、初等函数 10

习题1-2 11

1.3 极限的概念 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 15

习题1-3 18

1.4 极限的运算法则 19

一、无穷小与无穷大 19

二、极限运算法则 21

习题1-4 26

1.5 两个重要极限 27

习题1-5 31

1.6 无穷小的比较 31

习题1-6 33

1.7 函数的连续性 33

一、函数连续性的概念 33

二、函数的间断点 35

三、连续函数的运算 37

四、初等函数的连续性 38

五、闭区间上连续函数的性质 39

习题1-7 40

第二章 导数与微分 43

2.1 导数的概念 43

一、变化率问题举例 43

二、导数的定义 44

三、导数的几何意义 47

四、函数的可导性与连续性之间的关系 48

习题2-1 48

2.2 基本初等函数的导数 50

一、根据导数的定义可直接求出几个基本初等函数的导数 50

二、反函数的导数 52

三、导数基本公式 53

习题2-2 53

2.3 函数的和、差、积、商的求导法则 54

一、函数和、差的求导法则 54

二、常数与函数乘积的求导法则 55

三、函数积的求导法则 56

四、函数商的求导法则 57

习题2-3 58

2.4 复合函数的求导法则 59

习题2-4 62

2.5 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 63

一、隐函数的导数 63

二、由参数方程确定的函数的导数 65

习题2-5 66

2.6 函数的微分 66

一、微分的定义 67

二、微分的几何意义 69

三、微分公式与微分运算法则 69

四、微分的应用 71

习题2-6 73

2.7 高阶导数与高阶微分 74

一、高阶导数 74

二、高阶微分 75

习题2-7 76

第三章 中值定理与导数的应用 77

3.1 中值定理 77

一、罗尔定理 77

二、拉格朗日中值定理 78

三、柯西中值定理 80

习题3-1 81

3.2 罗必塔法则 82

习题3-2 87

3.3 泰勒公式 87

习题3-3 90

3.4 函数单调性的判定法 90

习题3-4 92

3.5 函数的极值及其求法 93

习题3-5 96

3.6 最大值、最小值问题 96

习题3-6 98

3.7 曲线的凹凸与拐点 98

习题3-7 101

3.8 函数图形的描绘 101

一、曲线的渐近线 101

二、函数图形的描绘 102

习题3-8 106

3.9 导数在经济分析中的应用 106

一、边际分析 106

二、弹性分析 109

习题3-9 112

第四章 不定积分 114

4.1 不定积分的概念与性质 114

一、原函数与不定积分的概念 114

二、基本积分表 116

三、不定积分的性质 117

习题4-1 119

4.2 换元积分法 119

一、第一类换元积分法 120

二、第二类换元积分法 125

习题4-2 129

4.3 分部积分法 131

习题4-3 135

4.4 几种特殊类型函数的积分 135

一、有理函数的积分 135

二、三角函数的有理式的积分 138

三、简单无理函数的积分 139

习题4-4 141

4.5 积分表的使用 142

习题4-5 144

第五章 定积分 145

5.1 定积分的概念和基本性质 145

一、问题的提出 145

二、定积分的定义 146

三、定积分的几何意义 148

四、定积分的性质 148

习题5-1 151

5.2 微积分基本定理 151

习题5-2 154

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 155

一、定积分的换元积分法 155

二、定积分的分部积分法 156

习题5-3 157

5.4 广义积分 158

一、无穷区间上的广义积分 158

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 160

习题5-4 162

第六章 定积分的应用 164

6.1 定积分的元素法 164

6.2 平面图形的面积 166

一、直角坐标情形 166

二、极坐标情形 168

习题6-2 170

6.3 体积 171

一、旋转体的体积 171

二、平行截面面积为已知的立体的体积 173

习题6-3 175

6.4 平面曲线的弧长 176

一、直角坐标情形 176

二、参数方程情形 177

习题6-4 178

6.5 功 水压力 179

一、变力沿直线所做的功 179

二、水压力 182

习题6-5 183

6.6 平均值 184

一、函数的平均值 184

二、均方根 186

习题6-6 187

6.7 定积分在经济中的应用 188

习题6-7 189

第七章 空间解析几何与向量代数 190

7.1 向量及其运算 190

一、向量的概念 190

二、向量的加减法 191

三、向量与数量的乘法 191

习题7-1 192

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示 193

一、空间直角坐标系 193

二、向量的坐标表示法 195

三、向量的模与方向余弦 198

习题7-2 200

7.3 数量积与向量积 200

一、数量积 200

二、向量积 202

习题7-3 203

7.4 平面及其方程 204

一、平面的点法式方程 204

二、平面的一般方程 205

三、有关平面的一些其他问题 206

习题7-4 207

7.5 空间直线的方程 208

一、空间直线的点向式方程 208

二、空间直线的参数方程 208

三、空间直线的一般方程 209

习题7-5 209

7.6 空间曲面 210

一、曲面方程与球面方程 210

二、柱面 211

三、旋转曲面 212

四、空间曲线 213

五、曲线在坐标面上的投影 214

六、常见的几种二次曲面 215

习题7-6 218

第八章 多元函数微分学 219

8.1 多元函数的概念 219

一、多元函数关系应用举例 219

二、二元函数的定义 219

三、二元函数的几何意义 221

四、二元函数的极限 222

五、二元函数的连续性 224

习题8-1 225

8.2 偏导数与全微分 226

一、偏导数 226

二、全微分 228

习题8-2 232

8.3 多元复合函数微分法与隐函数微分法 233

一、多元复合函数微分法 233

二、隐函数微分法 238

习题8-3 240

8.4 高阶偏导数 241

习题8-4 243

8.5 多元函数的极值与最值 244

一、极值的定义 244

二、极值存在的必要条件 244

三、极值存在的充分条件 245

四、最大值和最小值 246

五、条件极值 248

习题8-5 250

选做题 251

第九章 多元函数积分学 253

9.1 二重积分的概念 253

一、二重积分问题举例 253

二、二重积分的定义 254

三、二重积分的性质 255

习题9-1 256

9.2 二重积分的计算 257

一、直角坐标系下二重积分的计算 257

二、二重积分的一般变量替换公式 261

三、极坐标系下二重积分的计算 263

习题9-2 267

9.3 广义二重积分 269

习题9-3 272

9.4 二重积分的应用 272

一、曲面面积 273

二、重心 275

习题9-4 277

选做题 277

9.5 三重积分的概念及其计算 278

习题9-5 281

9.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 282

一、利用柱面坐标计算三重积分 283

二、利用球面坐标计算三重积分 284

习题9-6 289

9.7 含参变量的积分 290

习题9-7 295

第十章 微分方程 297

10.1 微分方程的概念 297

一、实践中的微分方程举例 297

二、微分方程的基本概念 298

三、微分方程解的几何意义 299

习题10-1 300

10.2 一阶微分方程 300

一、可分离变量的微分方程 300

二、齐次方程 302

三、一阶线性微分方程 303

四、应用举例 305

习题10-2 307

10.3 可降阶的高阶微分方程 308

一、y(n)=f（x）型微分方程 308

二、y″=f（x,y′）型微分方程 309

三、y″=f（y,y′）型微分方程 310

习题10-3 311

10.4 二阶常系数线性微分方程 311

一、二阶常系数齐次线性微分方程 312

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 315

习题10-4 320

10.5 若干生长模型选例 320

一、单分子生长模型 320

二、Gomperts函数 321

三、Richards函数 321

四、相对增长率是时间的减函数 321

10.6 差分方程初步 322

一、差分方程的基本概念 322

二、一阶常系数线性差分方程的求解 324

三、差分方程在经济学中的应用举例 328

习题10-6 333

第十一章 级数 334

11.1 级数的概念与性质 334

一、级数的概念 334

二、级数的基本性质 336

三、级数收敛的必要条件 336

习题11-1 337

11.2 正项级数 338

一、正项级数收敛的充分必要条件 338

二、正项级数收敛性的判别法 339

习题11-2 341

11.3 任意项级数 341

一、交错级数 341

二、绝对收敛与条件收敛 343

习题11-3 344

11.4 幂级数 344

一、幂级数的收敛半径 345

二、幂级数的性质 346

习题11-4 348

11.5 函数的幂级数展开式 348

一、泰勒（Taylor）级数 348

二、函数展开成幂级数 350

三、函数的幂级数展开式的应用 353

习题11-5 356

11.6 傅立叶级数 356

一、三角级数、三角函数系的正交性 356

二、函数展开成傅立叶级数 358

习题11-6 365

11.7 正弦级数和余弦级数 365

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 365

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 369

习题11-7 370

11.8 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 371

习题11-8 374

附表 积分表 375

习题参考答案 386

主要参考文献 426