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第一章　切分原理 1

1.1　切分原理Ⅰ及应用 1

1.1.1　分域法 1

1.1.2　分类法 3

1.1.3　迭加法 11

1.2　切分原理Ⅱ及其应用 19

1.2.1　考虑元素的特殊性分类分划 19

1.2.2　考虑位置的特殊性分类分划 20

1.2.3　考虑参量的取值范围分类分划 23

思考题 24

思考题参考解答 26

第二章　程序原理 32

2.1　程序原理Ⅰ及其应用 32

2.1.1　中途点法 32

2.1.2　消数法 37

2.1.3　消点法 41

2.2　程序原理Ⅱ及其应用 42

2.2.1　证明排列组合公式 43

2.2.2　求解计数问题 45

思考题 47

思考题参考解答 49

第三章　数学归纳法原理 55

3.1　运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧 55

3.1.1　三个步骤缺一不可 55

3.1.2　第一步中的注意事项与技巧 56

3.1.3　第二步中的注意事项与技巧 58

3.2　数学归纳法的几种其他形式 70

3.2.1　第二数学归纳法 70

3.2.2　跳跃数学归纳法 71

3.2.3　倒推数学归纳法（反向归纳法） 72

3.2.4　分段数学归纳法 73

3.2.5　二元有限数学归纳法 74

3.2.6　双向数学归纳法 74

3.2.7　翘翘板数学归纳法 75

3.2.8　同步数学归纳法 75

3.3　数学归纳法的适度运用 76

思考题 76

思考题参考解答 78

第四章　容斥原理 87

4.1　容斥原理Ⅰ与Ⅱ的应用 87

4.2　容斥原理Ⅱ的推广及应用 92

思考题 95

思考题参考解答 96

第五章　缩小原理 99

5.1　逐步排除，去伪存真 99

5.2　灵活推导，逐步逼近 100

5.3　提炼特征，寻求规律 102

5.4　放缩夹逼，限定范围 103

5.5　降维减元，简化处理 105

5.6　毛估猜测，检验论证 106

5.7　设立主元，缩围击破 108

思考题 110

思考题参考解答 110

第六章　局部调整原理 113

6.1　求最（极）值 113

6.2　证明不等式 115

6.3　论证平衡状态问题 119

6.4　等周问题的证明 120

6.5　磨光变换 123

思考题 123

思考题参考解答 124

第七章　排序原理 127

7.1　积和（方幂）式排序不等式 127

7.2　应用排序不等式Ⅰ证不等式 128

7.2.1　注意揭示两组数是同序的 128

7.2.2　注意多次应用排序不等式Ⅰ 129

7.2.3　注意所证不等式的变换 131

7.2.4　注意构造新的序列 131

7.2.5　运用排序不等式Ⅰ证著名不等式 132

7.3　运用排序不等式Ⅰ设计最佳方案 134

7.4　排序不等式Ⅰ的拓广形式 134

7.5　商式排序不等式 140

7.6　排序原理Ⅱ 141

思考题 142

思考题参考解答 143

第八章　配对原理 149

8.1　运用配对原理求解数学问题 149

8.1.1　利用图形 149

8.1.2　利用符号 150

8.1.3　利用规律 151

8.1.4　抓住特殊元素 152

8.1.5　抓住特殊式子 153

8.2　运用配对原理，证明两组东西一样多 155

思考题 156

思考题参考解答 157

第九章　关系、映射、反演原理 157

9.1　运用换元法解题 161

9.1.1　整体代换 161

9.1.2　常值代换 161

9.1.3　比值代换 162

9.1.4　标准量代换（包括平均量代换） 162

9.1.5　关于三角形边长命题的“切线长代换” 163

9.2　运用反函数法解题 163

9.3　运用对数法解题 163

9.4　运用坐标法解题 164

9.5　运用参数法解题 165

9.5.1　量度参数 165

9.5.2　增量参数 165

9.5.3　参数方程法 166

9.6　运用复数法解题 168

9.7　运用向量法解题 169

9.8　运用母函数法解题 171

9.9　运用微分、积分、概率知识法解题 172

9.10　运用数字化方法解题 172

9.11　运用数学模型法解题 174

思考题 174

思考题参考解答 174

第十章　逆反转换原理 176

10.1　逆推法 176

10.2　分析法 178

10.3　补集法 179

10.4　反客为主法 180

10.5　取倒数法 182

10.6　反证法 184

10.7　举反例 189

思考题 191

思考题参考解答 192

第十一章　重叠原理 196

11.1　离散型重叠原理及应用 196

11.1.1　要善于设计集合 197

11.1.2　设计集合的几种常用方法 197

11.1.3　通过转化应用重叠原理Ⅱ 201

11.1.4　分成几种情形应用重叠原理Ⅱ 202

11.1.5　多次连续应用重叠原理Ⅱ 202

11.1.6　同一题可划分不同的集合来运用重叠原理Ⅱ解题 203

11.1.7　重叠原理Ⅲ、重叠原理Ⅳ的应用例子 203

11.1.8　重叠原理Ⅰ的另一种表现形式 204

11.2　连续型重叠原理及应用 204

11.2.1　平均量重叠原理 204

11.2.2　不等式重叠原理 207

11.2.3　面积重叠原理 208

11.2.4　连续型重叠原理的推广 209

思考题 210

思考题参考解答 210

第十二章　重现原理 212

12.1　余数重现原理 212

12.1.1　同余在算术中的应用 213

12.1.2　利用同余求解末尾几位数码问题 215

12.1.3　利用同余处理整数问题 216

12.1.4　利用同余的性质证明某些著名定理 217

12.2　个位数重现原理 218

12.3　映射象重现原理 221

12.3.1　分圆多项式 221

12.3.2　周期函数 224

12.3.3　周期数列 229

12.3.4　其他周期现象 233

思考题 234

思考题参考解答 234

第十三章　开关原理 237

13.1　奇偶分析法 237

13.1.1　末位数问题 237

13.1.2　整除性问题 239

13.1.3　方程问题 239

13.1.4　存在性问题 240

13.1.5　探讨性问题 242

13.1.6　对弈问题 243

13.2　二进位制分析法 244

13.3　两个原理的综合应用 247

思考题 248

思考题参考解答 249

第十四章　最小数原理 251

14.1　最小数原理Ⅰ及应用 251

14.2　最小数原理Ⅱ及应用 252

14.2.1　论证存在性问题 252

14.2.2　论证唯一性问题 252

14.2.3　论证不存在性问题 253

14.2.4　论证“除法定理” 254

14.2.5　论证数学归纳法原理 254

14.2.6　推出归纳公理 254

14.3　最小空间角原理及应用 255

14.4　最大数原理及应用 256

附录　数学归纳法原理另外几种形式的证明 258

思考题 259

思考题参考解答 260

第十五章　最短长度原理 262

15.1　最短长度原理Ⅰ及应用 262

15.1.1　最佳选点、最佳路径问题 262

15.1.2　不等式、最值问题 264

15.1.3　覆盖问题 265

15.1.4　阿基米德第二公理 266

15.2　最短长度原理Ⅱ及应用 268

思考题 270

思考题参考解答 270

第十六章　极端原理 272

16.1　解答问题，运用极端原理奠基 272

16.2　求解问题，运用极端原理探路 274

16.3　定值问题，先用极端原理探求 276

16.4　穷举问题，运用极端原理筛选 277

16.5　某些规律，运用极端原理发现 278

16.6　获得结论对否，运用极端原理检验 280

16.7　讨论题解，运用极端原理完善 281

思考题 282

思考题参考解答 283

第十七章　对称原理 285

17.1　研究对称获结论 285

17.1.1　对称原理Ⅱ及应用 285

17.1.2　对称原理Ⅲ及其他 288

17.1.3　对称原理Ⅳ 290

17.2　看清对称明思路 291

17.2.1　看清对称图形 291

17.2.2　看清对称式子 292

17.2.3　看清对称地位 294

17.2.4　看清对称作用 295

17.3　联想对称得辅图 297

17.4　想到对称得方法 298

思考题 299

思考题参考解答 300

第十八章　相似原理 303

18.1　重视相似性推理 303

18.1.1　利用相似性，简化解答过程 303

18.1.2　注意相似性，应用图形性质 304

18.1.3　根据相似性，作出判断、推广 305

18.1.4　发现相似性，提高认识水平 305

18.1.5　运用相似性，创立新的学说 306

18.2　掌握相似性方法 306

18.2.1　借助相似性，运用比较法 306

18.2.2　捕捉相似性，纵横来类比 307

18.2.3　发掘相似性，巧用模式法 309

18.2.4　猎取相似性，采用模拟法 311

18.2.5　揭示相似性，善用移植法 311

18.2.6　把握相似性，优化探索法 312

思考题 314

思考题参考解答 315

第十九章　守恒原理 318

19.1　配凑型方法 318

19.1.1　配方法 318

19.1.2　拆开法 320

19.1.3　乘1法 326

19.2　代换型方法 331

19.2.1　待定系数法 331

19.2.2　参量分离法 337

19.2.3　化“1”代换法 337

19.2.4　等和代换法 338

思考题 339

思考题参考解答 339

第二十章　出人相补原理 344

20.1　等形出入相补 344

20.2　等积形出入相补 346

20.3　数、式出入相补 348

思考题 350

思考题参考解答 351

第二十一章　祖暅原理 355

思考题 355

思考题参考解答 355

第二十二章　不动点原理 357

22.1　函数不动点 357

22.1.1　利用f（x）的不动点，求f（x）的n次迭代函数的解析式 357

22.1.2　利用f（x）的不动点解方程 358

22.1.3　利用f（x）的不动点求递推数列的通项 359

22.1.4　利用f（x）的不动点求递推数列的极限 362

22.1.5　对有无限多个不动点的函数问题的讨论 364

22.2　组合不动点 365

22.3　几何不动点 366

22.4　拓扑不动点 367

思考题 368

思考题参考解答 368

参考文献 370

作者出版的相关书籍与发表的相关文章目录 371

编后语 373