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第1章 复变函数引论 1

1.1 复数与复变函数 1

1.1.1 复数表示法 1

1.1.2 复数的运算规则 3

1.1.3 复变函数的概念 4

1.1.4 复多项式与复变函数的幂级数 6

1.2 初等复变函数与反函数 9

1.2.1 初等复变函数的定义 9

1.2.2 指数函数、三角函数与双曲函数 10

1.2.3 复变函数的反函数 13

1.3 复变函数的导数与解析函数 16

1.3.1 复变函数的导数与解析函数的定义 17

1.3.2 柯西-黎曼方程 19

1.3.3 多值函数的解析延拓 22

1.4 复变函数的积分 24

1.4.1 复变函数积分的概念和计算 24

1.4.2 柯西—古萨定理 27

1.4.3 复变函数的原函数与积分 29

1.5 解析函数的高阶导数和泰勒级数 31

1.5.1 解析函数的高阶导数 31

1.5.2 泰勒级数 35

1.6 罗朗级数与留数 39

1.6.1 罗朗级数 39

1.6.2 留数和围道积分 43

习题1 46

第2章 傅里叶变换 51

2.1 复指数傅里叶级数 51

2.2 傅里叶积分与傅里叶变换 55

2.2.1 一维傅里叶变换定理 55

2.2.2 多维傅里叶变换 60

2.3 阶跃函数与δ函数的傅里叶变换 61

2.3.1 阶跃函数及广义傅里叶变换 61

2.3.2 δ（x）函数及意义 65

2.3.3 δ（x）函数的性质 67

2.4 傅里叶变换的性质 72

2.5 函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理 77

2.5.1 函数的卷积 77

2.5.2 傅里叶变换的卷积定理 79

2.6 复值函数的傅里叶变换 82

习题2 83

第3章 拉普拉斯变换 87

3.1 拉普拉斯变换的基本原理 87

3.1.1 拉普拉斯变换的概念 87

3.1.2 周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法 91

3.2 拉氏变换的性质 92

3.3 拉氏变换的卷积定理 100

3.3.1 卷积的意义和它的运算规则 100

3.3.2 卷积定理 101

3.4 拉氏逆变换及其应用 104

3.4.1 拉氏逆变换的反演积分原理 104

3.4.2 用拉氏逆变换解常微分方程 107

习题3 112

第4章 用分离变量法求解偏微分方程 114

4.1 数学物理方程的导出 114

4.2 定解问题的基本概念 120

4.2.1 泛定方程的基本概念 120

4.2.2 定解条件 123

4.2.3 线性偏微分方程解的叠加定理 125

4.3 直角坐标系下的分离变量法 127

4.3.1 一维齐次定解问题的分离变量法 127

4.3.2 高维齐次定解问题的分离变量法 132

4.4 直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数 135

4.4.1 直角坐标系下的第三类边值问题的求解 135

4.4.2 广义傅里叶级数 138

4.5 拉普拉斯方程的定解问题 140

4.5.1 平面直角坐标系中的狄利克莱问题 140

4.5.2 直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题 143

4.5.3 圆域内的狄利克莱问题 145

4.6 用特征函数展开法求解非齐次方程 148

4.6.1 齐次定解条件下非齐次方程的解 148

4.6.2 齐次边界条件下非齐次方程的解 151

4.7 非齐次边界条件的处理 153

习题4 158

第5章 二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数 162

5.1 贝塞尔方程与勒让德方程 162

5.1.1 贝塞尔方程的导出 163

5.1.2 勒让德方程的引入 165

5.2 二阶线性常微分方程的幂级数解法 167

5.2.1 二阶线性常微分方程的奇点与常点 167

5.2.2 二阶线性常微分方程的幂级数解 168

5.3 二阶线性常微分方程的广义幂级数解法 172

5.3.1 弗罗贝尼乌斯解法理论 172

5.3.2 弗罗贝尼乌斯级数解法 176

5.4 常微分方程的边值问题 181

5.4.1 常微分方程边值问题的提出 181

5.4.2 SL问题的定理 184

5.4.3 广义傅里叶级数的进一步讨论 187

习题5 191

第6章 柱面坐标中的偏微分方程解法 193

6.1 贝塞尔方程的解与贝塞尔函数 193

6.1.1 第一类和第二类贝塞尔函数 193

6.1.2 整数阶诺依曼函数 197

6.2 贝塞尔函数的递推公式 198

6.3 贝塞尔函数的性质 202

6.3.1 贝塞尔函数的渐近式 202

6.3.2 贝塞尔函数与诺依曼函数的性质 203

6.3.3 贝塞尔函数的生成函数与积分表示 204

6.4 傅里叶-贝塞尔级数 205

6.4.1 傅里叶-贝塞尔级数展开式 205

6.4.2 贝塞尔函数的模 207

6.5 柱坐标下的边值问题 210

6.5.1 柱对称的边值问题 210

6.5.2 二重傅里叶-贝塞尔级数的边值问题 214

6.6 虚宗量贝塞尔函数 217

6.6.1 修正的贝塞尔函数 217

6.6.2 修正的贝塞尔函数边值问题 219

6.7 其他类型的贝塞尔函数 222

6.7.1 第三类贝塞尔函数与柱函数 222

6.7.2 开尔芬函数 223

6.7.3 球贝塞尔函数 224

习题6 224

第7章 球面坐标中的偏微分方程解法 227

7.1 勒让德方程与勒让德多项式 227

7.1.1 勒让德方程的求解 227

7.1.2 勒让德多项式 231

7.2 勒让德函数的性质及递推公式 233

7.2.1 罗德利克公式 233

7.2.2 勒让德函数的性质 235

7.2.3 勒让德多项式的递推公式 236

7.3 傅里叶—勒让德级数 238

7.4 勒让德多项式的边值问题 242

7.5 连带勒让德多项式及应用 246

7.5.1 连带勒让德多项式 246

7.5.2 球谐函数 248

习题7 251

第8章 无界区域的定解问题 254

8.1 二阶偏微分方程分类及其在数理方法中的应用 254

8.1.1 二阶两变量线性偏微分方程的分类 254

8.1.2 二阶多变量线性偏微分方程的分类 258

8.1.3 偏微分方程分类在数理方法中的应用 258

8.2 用行波法求解定解问题 259

8.2.1 用行波法求解柯西问题 260

8.2.2 用行波法求解有界区域齐次波动方程 263

8.3 用齐次化原理求解非齐次方程 265

8.3.1 无界区域非齐次弦振动方程的齐次化原理 265

8.3.2 有界区域定解问题的齐次化解法 269

8.4 齐次高维波动方程的柯西问题 271

8.4.1 球对称柯西问题的求解 271

8.4.2 三维波动方程的泊松公式 272

8.4.3 降维法求柯西问题 279

8.5 非齐次高维波动方程的求解 282

8.6 用积分变换法求解偏微分方程 286

8.6.1 用傅里叶变换求定解问题 286

8.6.2 半无限区域上的定解问题 289

8.6.3 用拉氏变换求解偏微分方程 292

习题8 293

第9章 格林函数法求解数理方程 297

9.1 格林公式及其在数理方程中的应用 297

9.1.1 格林公式 297

9.1.2 泊松方程的积分表达式 298

9.2 格林函数 300

9.2.1 用格林函数表示的泊松方程解 300

9.2.2 格林函数的定解问题与泊松方程的解 302

9.3 格林函数法解定解问题 303

9.3.1 用电象法求格林函数 303

9.3.2 用正交函数展开法求格林函数 307

习题9 311

附录 312

附录A 傅氏变换简表 312

附录B 拉氏变换简表 314

参考文献 318