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第一章 矩阵与行列式 1

1.0预备知识 1

1.0.1集合 1

1.0.2数集 3

1.0.3数域 4

1.0.4求和号∑ 5

1.1线性型和矩阵概念的引入 8

1.1.1矩阵的定义 8

1.1.2常用矩阵 9

1.2矩阵的运算 11

1.2.1矩阵的线性运算 11

1.2.2矩阵的乘法 15

1.2.3方阵的幂与方阵多项式 19

1.3方阵的行列式 22

1.3.1行列式的递归定义 22

1.3.2排列 27

1.3.3行列式的等价定义 28

1.4行列式的基本性质 32

1.4.1转置行列式 32

1.4.2行线性性 33

1.4.3行列式的初等变换 35

1.5Laplace定理 38

1.5.1子式·余子式·代数余子式 39

1.5.2Laplace定理 41

1.5.3行列式的按行展开与按列展开 45

1.5.4方阵乘积的行列式 46

1.6行列式的计算 49

1.6.1三角化 50

1.6.2降阶法与镶边法 53

1.6.3归纳与递推 56

1.7可逆矩阵 62

1.7.1可逆矩阵 63

1.7.2矩阵可逆的条件 65

1.7.3逆矩阵的求法 66

1.8分块矩阵 69

1.8.1矩阵的分块 69

1.8.2分块矩阵的运算 72

1.8.3分块对角矩阵 74

习题一 77

第二章 线性方程组理论 82

2.1解线性方程组的消元法 82

2.1.1线性方程组的矩阵形式 82

2.1.2线性方程组的初等变换 84

2.1.3梯矩阵和简化梯矩阵 88

2.2向量空间Kn 93

2.2.1向量空间Kn及其运算性质 93

2.2.2子空间 95

2.3向量组的秩 98

2.3.1线性组合、线性方程组的向量形式 98

2.3.2线性相关与线性无关 103

2.3.3极大线性无关组、向量组的秩 109

2.4矩阵的相抵标准形 112

2.4.1初等矩阵和矩阵的初等变换 112

2.4.2矩阵的秩 120

2.4.3矩阵相抵标准形 126

2.5Cramer法则 130

2.5.1Cramer法则 130

2.5.2求逆矩阵的初等变换法 134

2.5.3矩阵方程 135

2.6线性方程组解的结构 138

2.6.1线性方程组相容性判别准则 138

2.6.2齐次线性方程组的解空间 140

2.6.3非齐次线性方程组解的结构 145

2.7分块矩阵的初等变换 150

2.7.1分块矩阵的初等变换 150

2.7.2分块初等矩阵 151

2.7.3行列式和矩阵计算中的分块技巧 154

习题二 157

第三章 相似矩阵 163

3.1方阵的特征值与特征向量 163

3.1.1方阵的特征值与特征向量 163

3.1.2特征值与特征向量的求法 165

3.1.3特征向量的性质 169

3.2矩阵的相似变换 173

3.2.1矩阵相似的概念 173

3.2.2相似矩阵的性质 175

3.3矩阵相似于对角矩阵的条件 179

3.3.1矩阵相似于对角矩阵的条件 179

3.3.2特征值的代数重数和几何重数 189

3.3.3矩阵Jordan标准形 191

3.4方阵的最小多项式 195

3.4.1方阵的化零多项式 196

3.4.2最小多项式 198

3.4.3最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 202

3.5相似标准形的若干简单应用 204

3.5.1行列式求值与方阵求幂 204

3.5.2求与给定方阵可交换的方阵 206

习题三 210

第四章 二次型与对称矩阵 215

4.1二次型及其标准形 215

4.1.1二次型及其矩阵表示 215

4.1.2二次型的标准形 217

4.1.3实对称矩阵的合同标准形 221

4.2惯性定理与二次型分类 223

4.2.1惯性定理 223

4.2.2二次型的分类 226

4.3正定二次型 227

4.3.1正定二次型 227

4.3.2二次型正定性判别法 228

4.4正交向量组与正交矩阵 234

4.4.1向量的内积 235

4.4.2正交向量组 237

4.4.3正交矩阵 240

4.5实对称矩阵的正交相似标准形 245

4.5.1实对称矩阵的特征值和特征向量 245

4.5.2实对称矩阵的正交相似标准形 246

4.5.3用正交替换化二次型为标准形 250

习题四 253

第五章 线性空间与线性变换 256

5.1线性空间的概念 256

5.1.1线性空间的定义 256

5.1.2线性空间的简单性质 257

5.1.3线性子空间 258

5.2线性空间的同构 260

5.2.1基底，维数与坐标 260

5.2.2基变换与坐标变换 264

5.2.3线性空间的同构 271

5.3欧氏空间 274

5.3.1欧氏空间的定义与基本性质 275

5.3.2标准正交基 278

5.3.3欧氏空间的同构 280

5.4线性变换 282

5.4.1线性变换的概念与运算 282

5.4.2线性变换的性质 287

5.5线性变换的矩阵 288

5.5.1线性变换在给定基下的矩阵 288

5.5.2线性变换在不同基下矩阵间的关系 290

习题五 297

索引 301

参考文献 305