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第一章 函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1函数的概念 1

1.1.2函数的性质 3

1.1.3基本初等函数 4

1.1.4复合函数 6

1.1.5初等函数 6

1.2函数的极限 7

1.2.1当x→∞时函数f（x）的极限 7

1.2.2当x→x0时函数f（x）的极限 9

1.3无穷小与无穷大 10

1.3.1无穷小 10

1.3.2无穷大 11

1.3.3无穷大与无穷小的关系 11

1.3.4无穷小的性质 11

1.4极限的四则运算 12

1.5两个重要极限 16

1.5.1第一个重要极限limx→0sinx/x=1 16

1.5.2第二个重要极限limx→∞（1+1/x）x=e 17

1.5.3无穷小量阶的比较 18

1.6函数的连续性 20

1.6.1函数在点x0处的连续性 20

1.6.2函数y=f（x）在区间［a，b］上连续 22

1.6.3闭区间上连续函数的性质 24

1.7Mathematica 26

1.7.1用Mathematica进行函数运算 26

1.7.2用Mathematica求极限 27

复习题一 28

第二章 导数与微分 31

2.1导数与微分的概念 31

2.1.1导数的概念 31

2.1.2微分的概念 35

2.1.3函数的可导性与连续性的关系 36

2.2直接求导法 38

2.3复合函数求导法 40

2.4隐函数的求导法 41

2.4.1隐函数的概念 41

2.4.2隐函数的求导 41

2.5对数求导法 43

2.6高阶导数求法 44

2.7微分的求法 46

2.7.1微分的运算 46

2.7.2隐函数的微分法 48

2.7.3参数方程求导法 48

2.8微分在近似计算中的应用 49

2.8.1利用微分近似代替函数增量 49

2.8.2利用微分计算函数的近似值 50

2.9用Mathematica进行求导运算 51

复习题二 52

第三章 积分 54

3.1定积分的概念与性质 54

3.1.1两个实例 54

3.1.2定积分的定义 56

3.1.3定积分的几何意义 57

3.1.4定积分的性质 58

3.2原函数与不定积分、牛顿—莱布尼茨公式 60

3.2.1原函数与不定积分 60

3.2.2基本积分公式 61

3.2.3不定积分的性质 62

3.2.4牛顿—莱布尼茨公式 62

3.3直接积分法 64

3.4第一类换元法 66

3.5第二类换元法 69

3.6分部积分法 73

3.7积分表的使用 76

3.8定积分的近似计算 77

3.8.1梯形法 77

3.8.2抛物线法 78

3.9广义积分 80

3.9.1无限区间上的广义积分 80

3.9.2无界函数的广义积分 81

3.10用Mathematica求一元函数的积分 83

复习题三 84

第四章 微积分的基本应用 87

4.1微分中值定理、洛必达法则 87

4.1.1微分中值定理 87

4.1.2洛必达法则 89

4.2函数单调性的判定及极值的求法 91

4.2.1函数的单调性 91

4.2.2函数的极值 93

4.3函数最值的求法 95

4.4曲线的凹向和渐近线 96

4.4.1曲线的凹向 96

4.4.2曲线的渐近线 98

4.5函数图象的描绘 99

4.6弧微分、曲率 100

4.6.1弧微分 100

4.6.2曲率 101

4.7定积分的几何应用 103

4.7.1微元法 103

4.7.2平面图形的面积 104

4.7.3立体的体积 106

4.8定积分的其他应用简介 108

4.8.1定积分的物理应用 108

4.8.2定积分的经济应用举例 110

4.8.3定积分在工程上的应用举例 111

4.9用Mathematica做导数应用题 112

复习题四 114

第五章 级数 116

5.1数项级数及其敛散性 116

5.1.1无穷级数的概念 116

5.1.2数项级数 117

5.1.3数项级数的性质 119

5.1.4级数收敛的必要条件 120

5.2正项级数及其敛散性 120

5.2.1正项级数的概念 120

5.2.2比较判别法的极限形式 121

5.2.3比值判别法和根式判别法 122

5.3.交错级数，绝对收敛和条件收敛 124

5.3.1交错级数 124

5.3.2绝对收敛和条件收敛 125

5.4幂级数 127

5.4.1函数项级数的概念 127

5.4.2幂级数及其收敛区域 128

5.4.3幂级数的求法 129

5.4.4幂级数的运算 130

5.5函数的幂级数展开和应用 132

5.5.1泰勒级数 132

5.5.2函数展开成泰勒级数 134

5.5.3幂级数的应用 138

5.6用Mathematica做级数运算 143

复习题五 144

第六章 微分方程 146

6.1微分方程的基本概念 146

6.1.1两个实例 146

6.1.2微分方程的基本概念 147

6.2可分离变量的一阶微分方程 150

6.3一阶齐次微分方程 153

6.4一阶线性微分方程 156

6.5一阶线性非齐次微分方程 160

6.6可降阶的高阶微分方程 165

6.6.1y（n）=f（x）型的微分方程 165

6.6.2y″=f（x，y′）型的微分方程 166

6.6.3y″=f（y，y′）型的微分方程 168

6.7用Mathematica解微分方程 169

复习题六 170

第七章 向量与空间解析几何 173

7.1空间直角坐标系 173

7.1.1空间直角坐标系 173

7.1.2向量的基本概念 174

7.1.3向量的线性运算 175

7.1.4向量的坐标表示 177

7.2向量的点积，向量的叉积 182

7.2.1两向量的点积 182

7.2.2两向量的叉积 184

7.3平面方程 187

7.3.1平面的点法式方程 187

7.3.2平面的一般式方程 188

7.3.3平面的截距式方程 189

7.3.4点到平面的距离 190

7.3.5两平面的夹角 191

7.4空间直线的方程 193

7.4.1空间直线的方程 193

7.4.2空间两直线的位置关系 195

7.4.3空间直线与平面的位置关系 196

7.5空间曲面和曲线 199

7.5.1曲面方程的概念 199

7.5.2母线平行于坐标轴的柱面 200

7.5.3旋转曲面 201

7.5.4二次曲面 201

7.5.5空间曲线方程 204

7.5.6空间曲线在坐标面上的投影 205

复习题七 207

第八章 多元函数微积分 210

8.1多元函数微分学 210

8.1.1多元函数的概念 210

8.1.2偏导数 212

8.1.3全微分 214

8.1.4多元复合函数微分法 216

8.1.5多元函数极值 218

8.2多元函数积分学 223

8.2.1二重积分的概念与性质 223

8.2.2二重积分的计算 225

8.2.3二重积分的应用 231

8.3用Mathematica求偏导数，多元函数的极值与多重积分 234

复习题八 236

附录 积分表 238

主要参考文献 247