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函数与极限 1

函数 1

区间和邻域 1

函数的概念 2

函数的几种特性 4

反函数与复合函数 5

初等函数 6

数列的极限 8

数列极限的定义 8

收敛数列的性质 12

函数的极限 13

自变量趋于无穷大时函数的极限 13

自变量趋于有限值时函数的极限 15

函数极限的性质 17

无穷大量与无穷小量 17

极限运算法则 19

重要极限无穷小的比较 25

极限存在准则 25

两个重要极限 27

无穷小的比较 29

函数的连续与间断 32

函数的连续性 32

函数的间断点 34

初等函数的连续性 36

闭区间上连续函数的性质 38

自测题1 40

导数与微分 42

导数的概念 42

引例 42

导数的定义 43

导数的几何意义 47

函数的可导性与连续性的关系 48

函数的求导法则 49

函数的和、差、积、商的求导法则 50

反函数的求导法测 52

复合函数的求导法则 53

基本导数公式与求导法则 55

隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 57

隐函数的导数 57

由参数方程所确定的函数的导数 59

相关变化率 61

高阶导数 62

函数的微分 67

微分的定义 67

函数可微的条件 68

微分的几何意义 69

微分公式与微分运算法则 69

微分形式不变性 70

利用微分进行近似计算 71

自测题2 72

微分中值定理与导数的应用 76

微分中值定理 76

罗尔（Rolle）定理 76

拉格朗日（Lagrange）中值定理 78

柯西（Cauchy）中值定理 80

泰勒（Taylor）公式 80

洛必达法则 84

0/0型与∞/∞型未定式的极限 84

其他未定式的极限 88

函数的单调性与曲线的凹凸性 90

函数的单调性 90

曲线的凹凸与拐点 92

函数的极值与最大值、最小值 95

函数的极值 95

函数的最大值与最小值 98

弧微分与曲率 101

弧微分 101

曲率及其计算公式 102

函数图形的描绘 105

曲线的渐近线 105

函数图形的描绘 107

自测题3 108

不定积分 111

不定积分的概念与性质 111

原函数与不定积分的概念 111

不定积分的性质 114

基本积分表 114

换元积分法 117

第一类换元法 118

第二类换元法 123

分部积分法 127

几种特殊类型函数的积分 132

有理函数的积分 132

简单无理函数的积分 135

自测题4 138

定积分 140

定积分的概念 140

引例 140

定积分的定义 142

定积分的性质 144

微积分基本公式 149

引例 149

积分上限函数及其导数 149

牛顿-莱布尼兹公式 151

定积分的换元法和分部积分法 153

定积分的换元法 154

定积分的分部积分法 157

广义积分 159

无穷限的广义积分 159

无界函数的广义积分 161

自测题5 164

定积分的应用 167

定积分的微元法 167

平面图形的面积 168

直角坐标情形 168

参数方程情形 170

极坐标情形 171

体积 173

旋转体的体积 173

平行截面面积为已知的立体的体积 175

平面曲线的弧长 176

直角坐标情形 176

参数方程情形 177

极坐标情形 178

功水压力和引力 179

变力沿直线所作的功 179

水压力 180

引力 181

自测题6 182

微分方程 184

微分方程的基本概念 184

可分离变量的微分方程 187

齐次方程 191

一阶线性微分方程 193

一阶线性齐次方程的解法 194

一阶线性非齐次方程的解法 194

可降阶的高阶微分方程 198

y(n）=f（x）型的微分方程 199

y″=f（x，y′）型的微分方程 200

y″=f（y，y′）型的微分方程 201

二阶线性微分方程 203

二阶齐次线性微分方程解的结构 203

二阶非齐次线性微分方程解的结构 205

二阶常系数齐次线性微分方程 206

二阶常系数非齐次线性微分方程 209

自测题7 214

附录 216

附录A预备知识 216

附录B几种常用的曲线 219

参考答案 223

参考文献 236