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第八篇 数学物理方程引论 7

第四十八章 振动问题 7

209．弦的微小横振动 7

1．引言 7

2．弦的微小横振动问题基本假设 7

3．张力不依赖于时间及x 9

4．弦的横振动方程 10

5．在弦的某点上施加集中的力的情形 12

6．弦振动的能量 13

210．边界值条件与初始值条件 15

1．边界值条件与初始值条件 15

2．三种基本类型的边界值条件 18

3．极限情形 19

211．唯一性定理 20

1．唯一性定理的意义 20

2．第一边界值问题的解的唯一性 21

3．第二及第三边界值问题的解的唯一性 23

习题 24

第四十九章 振动方程的解法 26

212．传播法（达朗贝尔法） 26

1．无界弦的振动问题 26

2．解（7）的物理意义 27

3．举例 30

4．半有界弦的振动问题 33

5．举例 37

6．半有界弦的振动　…但一端按给定的规律运动 39

7．有界弦的振动问题 42

8．振动的积分方程 46

9．积分方程（28）的应用及举例 49

10．解的稳定性 54

习题 57

213．分离变量法（福里哀法） 60

1．自由振动问题 60

2．解（15）的物理意义 65

3．叠合原理的证明 69

4．福里哀法与达朗贝尔法的比较 74

5．非齐次方程…弦的强迫振动问题 75

6．函教G（x,ξ,t-τ）的物理意义 78

7．有界弦的一般的第一边界值问题 80

8．稳定的非齐次边界值问题 81

9．举例 82

习题 102

第五十章 热传导方程 115

214．热传导方程 115

1．引言 115

2．热传导的线性问题 115

3．初始值条件与边界值条件 121

215．最大值原理 125

1．最大值原理 125

2．第一边界值问题的解的唯一性 129

3．最大值原理的一些推论，稳定性定理 130

4．无穷枢轴上热传导问题的解的唯一性 131

第五十一章 热传导方程的各种边界值问题的解法 134

216．无穷枢轴上的热传导问题 134

1．无穷枢轴上热传导问题 134

2．公式（7）是问题的解的证明 136

3．源函教G（x,t,ξ）及其物理意义 141

217．半有界枢轴上热传导问题 143

1．半有界枢轴上热传导问题，第一种边界值问题 143

2．一端是热绝缘的情形，第二种边界值问题 146

218．有界枢轴上热传导问题 148

1．第一种边界值问题 148

2．第三种边界值问题 152

3．问题Ⅵ的解法 153

4．问题Ⅶ的解法程序 154

5．问题Ⅸ的解法 155

6．问题Ⅷ的解法 160

219．没有初始条件的热传导问题 162

1．没有初始条件的热传导问题 162

2．半有界枢轴的第一种边界值问题而不带初始条件 162

3．有界枢轴上没有初始条件的热传导问题 164

220．热传导问题举例 167

1．解题程序 167

2．举例 169

习题 188

221．带有变量t的第一种边界值问题（杜赫美原理） 196

1．引言 196

2．半有界枢轴上的边界值问题 197

3．杜赫美原理 202

4．杜赫美原理的应用举例 203

习题 210

第五十二章 拉普拉斯方程与调和函数 214

222．方程的背景，应用问题举例 214

1．稳定热场 214

2．液体的势流与稳定电流及静电场的势 215

3．在几种标准的直交曲线坐标系下的拉普拉斯方程 217

4．空间与平面拉普拉斯方程的基本解 219

5．凯尔文变换 220

223．调和函数的一般性质 225

1．引言 225

2．格林第三公式 225

3．调和函教的一些基本性质 231

224．边界值问题解的唯一性与稳定性 236

1．第一种边界值问题的解的唯一性与稳定性 236

2．带有间断的边界条件的问题 237

3．孤立奇异点 239

4．调和函教在无穷远点的正则性 241

5．外边界值问题 244

225．第二种边界值问题的解的唯一性 249

1．有界域的情形 249

2．无穷区域的情形 251

226．最简单区域的边界值问题的解法 256

1．圆域的第一种边界值问题的解法 256

2．叠合原理的证明 261

3．卜阿桑积分 264

4．f（θ）只是连续的情形 265

5．f（θ）逐段连续的情形 267

227．空间球域内或外边界值问题的解法 270

1．第一种边界值问题（即迪里赫勒问题）在球域内部的解法 270

2．卜阿桑积分与解的证明 275

习题 279

228．源函数（或称格林函数） 280

1．拉普拉斯方程△u=0的源函数 280

2．一些最简单区域的源函数的求法 283

习题 290

3．举例 290

习题 303