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第1章 函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1实数 1

1.1.2变量与区间 3

1.1.3函数 4

习题1-1 14

1.2数列的极限 15

1.2.1数列极限的定义 16

1.2.2收敛数列的性质 20

习题1-2 22

1.3函数的极限 22

1.3.1函数极限的定义 22

1.3.2函数极限的性质 30

习题1-3 31

1.4极限运算法则 31

习题1-4 37

1.5极限存在准则两个重要极限 37

习题1-5 43

1.6无穷小与无穷大 43

1.6.1无穷小 43

1.6.2无穷大 44

1.6.3无穷小阶的比较 40

习题1-6 48

1.7函数的连续性与间断点 48

1.7.1函数的连续性 49

1.7.2函数的间断点 51

习题1-7 52

1.8连续函数的运算、初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 53

1.8.1连续函数的和、差、积及商的连续性 53

1.8.2反函数与复合函数的连续性 54

1.8.3闭区间上连续函数的基本性质 55

习题1-8 58

小结 59

复习题1 60

第2章 导数与微分 63

2.1导数的概念 63

2.1.1引例 63

2.1.2导数的定义 64

2.1.3导数的几何意义和物理意义 66

2.1.4单侧导数 68

2.1.5函数可导性与连续性的关系 69

习题2-1 69

2.2函数的求导法则 70

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 70

2.2.2复合函数的求导法则 73

2.2.3反函数的求导数法则 75

2.2.4基本求导法则与公式 76

习题2-2 77

2.3高阶导数 78

2.3.1高阶导数 78

2.3.2莱布尼茨（Leibniz ）公式 80

习题2-3 81

2.4隐函数、参数方程所确定函数的导数 极坐标方程 相关变化率 81

2.4.1隐函数的导数 81

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 极坐标方程 84

2.4.3相关变化率 87

习题2-4 87

2.5函数的微分 88

2.5.1微分的概念 88

2.5.2微分的运算 91

2.5.3微分的应用 92

习题2-5 95

小结 96

复习题2 97

第3章 微分中值定理与导数的应用 100

3.1微分中值定理 100

3.1.1费尔马引理 100

3.1.2中值定理 101

习题3-1 105

3.2洛必塔法则 106

3.2.10/0型不定式 107

3.2.2∞/∞型不定式 108

3.2.3其他类型的不定式 109

习题3-2 111

3.3泰勒公式 111

习题3-3 117

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 118

3.4.1函数单调性的判别法 118

3.4.2曲线的凸性与拐点 121

习题3-4 125

3.5函数的极值与函数的最大值最小值 125

3.5.1函数极值的判别法 125

3.5.2最大值与最小值的求法 128

习题3-5 131

3.6函数图象的描绘 132

3.6.1渐近线 132

3.6.2函数的图象 135

习题3-6 137

小结 137

复习题3 138

第4章 不定积分 141

4.1不定积分的概念 141

4.1.1原函数的概念 141

4.1.2不定积分的概念 142

4.1.3不定积分的几何意义 143

4.1.4基本积分表 144

4.1.5不定积分的性质 145

习题4-1 147

4.2换元积分法和分部积分法 147

4.2.1换元积分法 148

4.2.2分部积分法 154

习题4-2 158

4.3一些特殊类型函数的积分法 160

4.3.1有理函数的积分 160

4.3.2三角函数有理式的积分 164

4.3.3简单无理函数的积分 166

习题4-3 168

4.4积分表的使用 169

习题4-4 172

小结 172

复习题4 174

第5章 定积分 179

5.1定积分概念 179

5.1.1定积分问题举例 179

5.1.2定积分的定义 181

5.1.3可积性条件 183

5.1.4定积分的几何意义 185

习题5-1 187

5.2定积分的基本性质 187

习题5-2 192

5.3微积分基本公式 193

5.3.1积分上限函数及其导数 193

5.3.2牛顿-莱布尼茨公式 196

习题5-3 199

5.4定积分的计算 200

5.4.1定积分的换元积分法 200

5.4.2定积分的分部积分法 203

习题5-4 206

5.5定积分的近似计算 207

5.5.1矩形法 207

5.5.2梯形法 208

5.5.3抛物线法 209

习题5-5 211

5.6定积分的应用 212

5.6.1定积分的元素法 212

5.6.2定积分在几何上的应用 213

5.6.3定积分在物理上的应用 224

习题5-6 233

5.7广义积分 236

5.7.1积分区间为无限的广义积分 236

5.7.2无界函数的广义积分 238

5.7.3广义积分的审敛法 241

5.7.4 Г-函数与B-函数 245

习题5-7 247

小结 248

复习题5 251

第6章 常微分方程 259

6.1微分方程的基本概念 259

6.1.1引例 259

6.1.2基本概念 261

习题6-1 262

6.2一阶微分方程 263

6.2.1可分离变量方程 263

6.2.2可化为分离变量的方程 266

6.2.3一阶线性微分方程 268

习题6-2 274

6.3可降阶的二阶微分方程 274

6.3.1y"=f（x）型的微分方程 274

6.3.2y"＝f（x,y'）型的微分方程 275

6.3.3y"= f（y,y'）型的微分方程 276

习题6-3 279

6.4二阶线性微分方程 279

6.4.1二阶线性微分方程解的性质与通解结构 279

6.4.2二阶常系数齐次线性方程 284

6.4.3二阶常系数非齐次线性方程 288

习题6-4 295

6.5应用举例 295

习题6-5 301

小结 301

复习题6 303

第7章 无穷级数 306

7.1数项级数 306

7.1.1数项级数的概念 306

7.1.2收敛级数的简单性质 308

7.1.3正项级数的收敛判别法 311

7.1.4任意项级数的收敛判别法 317

7.1.5绝对收敛级数的性质 320

习题7- 1 323

7.2幂级数 324

7.2.1函数项级数的概念 325

7.2.2幂级数及其收敛性 326

7.2.3幂级数的性质 330

习题7-2 332

7.3函数的幂级数展开式 332

7.3.1泰勒级数 332

7.3.2初等函数的幂级数展开式 335

7.3.3函数的幂级数展开式的应用 340

7.3.4欧拉公式 345

习题7-3 346

7.4傅立叶级数 347

7.4.1傅立叶系数与傅立叶级数 347

7.4.2奇、偶函数的傅立叶级数 352

7.4.3周期为2l的函数的傅立叶级数 355

习题7-4 359

小结 360

复习题7 361

习题答案与提示 364

附表 积分表 388

参考文献 398