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第一章 集合与函数 1

第一节 集合与映射 1

一、集合及其运算 1

二、映射 5

习题1-1 9

第二节 函数的概念与基本性质 9

一、函数的概念 9

二、函数的基本性质 13

三、函数的代数运算 15

四、反函数 16

习题1-2 17

第三节 初等函数 19

一、基本初等函数 19

二、初等函数 22

习题1-3 26

第二章 极限 28

第一节 数列的极限 28

一、数列 28

二、数列极限的定义 29

三、数列极限的性质 33

四、数列的收敛准则 37

习题2-1 39

第二节 函数的极限 40

一、x-→∞时，函数的极限 40

二、x→x0时，函数的极限 42

三、函数极限的性质 45

四、x-？时，函数的左、右极限 47

习题2-2 48

第三节无穷小量与无穷大量 49

一、无穷小量 49

二、无穷大量 52

习题2-3 55

第四节 极限的运算 55

一、极限的运算法则 55

二、极限运算举例 57

习题2 -4 61

第五节 极限存在定理 62

一、夹逼定理 62

二、函数极限与数列极限的关系 63

三、柯西收敛准则 64

习题2-5 65

第六节 两个重要极限 65

lim sinx/x=1x→ 65

lim（1+1/x？=ex→∞ 68

习题2-6 71

第七节 无穷小量的比较 72

一、无穷小量比较的概念 72

二、等价无穷小量的性质与应用 73

习题2-7 75

第三章 函数的连续性 76

第一节 函数的连续与间断 76

一、函数的连续性 76

二、函数的间断点 79

习题3-1 81

第二节 连续函数的性质 82

一、连续函数的基本性质 82

二、初等函数的连续性 85

三、闭区间上连续函数的性质 85

四、函数的一致连续性 90

习题3-2 91

第四章 函数的导数和微分 93

第一节 导数的概念 93

一、导数的引入 93

二、导数的定义 94

三、导数的几何意义 99

四、可导与连续的关系 100

习题4-1 101

第二节 求导法则 103

一、函数四则运算的求导法则 103

二、复合函数的求导法则 105

三、反函数的求导法则 107

四、基本导数公式 108

五、隐函数的求导法则 110

六、取对数求导法则 110

七、由参数方程确定的函数的求导法则 111

习题4-2 113

第三节 高阶导数 113

习题4-3 118

第四节 微分及其运算 119

一、微分的定义 119

二、微分与导数的关系 120

三、微分的几何意义 121

四、复合函数的微分及基本微分公式 122

五、高阶微分 123

习题4-4 124

第五节 微分中值定理 125

一、罗尔中值定理 126

二、拉格朗日中值定理 128

三、柯西中值定理 131

四、泰勒中值定理 132

习题4-5 138

第六节 洛必达法则 140

一、0/0型不定式的洛必达法则 140

二、∞/∞型不定式的洛必达法则 142

三、其他不定式的洛必达法则 144

习题4-6 146

第五章 导数与微分的应用举例 148

第一节 函数的单调性与凸性 148

一、函数的单调性 148

二、函数的凸性 150

习题5-1 154

第二节 函数的极值和最值 155

一、函数的极值 155

二、拐点与导函数极值点的关系 158

三、最优化问题 159

习题5-2 162

第三节 函数图形的描绘 164

一、曲线的渐近线 164

二、函数图形的描绘 165

习题5-3 169

第四节 相关变化率、曲率 169

一、相关变化率 169

二、曲率 170

习题5-4 175

第五节 在经济学中的应用 175

一、边际函数 175

二、函数的弹性 176

三、增长率 177

习题5-5 178

第六章函数的积分 179

第一节 定积分的概念 179

一、曲边梯形的面积 179

二、定积分的定义 180

三、定积分的性质 183

习题6-1 187

第二节 定积分的基本定理 188

一、原函数与积分上限函数 188

二、微积分基本公式 191

习题6-2 192

第三节 不定积分 193

一、不定积分的概念和性质 193

二、求不定积分的方法 197

三、有理函数的不定积分 209

四、三角函数有理式的不定积分 213

五、积分表的使用 216

习题6-3 217

第四节 定积分的计算 218

一、定积分的换元法 219

二、定积分的分部积分法 222

习题6-4 225

第五节 反常积分 226

一、无穷区间上的积分 226

二、暇积分 230

三、Г函数 234

四、反常积分的收敛原理 236

五、反常积分的柯西主值 237

习题6-5 238

第七章 定积分的应用举例 239

第一节 建立定积分数学模型的微元法 240

第二节 平面图形的面积 241

一、直角坐标情形 241

二、极坐标情形 244

习题7-2 247

第三节 平面曲线的弧长 248

一、弧长的概念 248

二、弧长的计算 249

三、弧微分的几何意义 252

习题7-3 253

第四节 立体的体积和旋转体的侧面积 253

一、平行截面面积为已知的立体体积 253

二、旋转体的体积 255

三、旋转体的侧面积 257

习题7-4 258

第五节 定积分在物理及其他方面的应用 259

一、变力做功 259

二、液体的静压力 261

三、质量分布不均匀的线状物体的质量 263

四、求极限 263

五、连续函数的平均值 265

习题7-5 266

第八章 无穷级数 266

第一节 常数项级数的概念和性质 267

一、无穷级数的概念 267

二、级数收敛的必要条件 269

三、级数的基本性质 270

习题8-1 272

第二节 常数项级数敛散性判别法 273

一、正项级数敛散性判别法 273

二、交错级数及其敛散性判别法 278

三、任意项级数及其敛散性判别法 280

习题8-2 282

第三节 函数项级数 283

一、一般函数项级数 283

二、幂级数 285

习题8-3 293

第四节 函数展开为幂级数 294

一、函数展开为幂级数 294

二、函数幂级数展开式的应用举例 300

习题8-4 303

第五节 函数展开为傅里叶级数 304

一、周期函数的傅里叶级数 304

二、非周期函数的傅里叶级数 312

习题8-5 317

第九章 常微分方程 319

第一节 微分方程的基本概念 319

习题9-1 323

第二节 一阶微分方程 323

一、变量可分离方程 323

二、齐次方程 325

三、一阶线性微分方程 328

习题9-2 332

第三节 几类可降阶的高阶微分方程 3

一、y（n）=f(x）型的微分方程 334

二、y1=f（x,y1）型的微分方程 335

三、y2=f（y,y1）型的微分方程 336

四、可利用参变量降阶的方程 338

习题9-3 339

第四节 线性微分方程解的结构与幂级数解法 340

一、线性微分方程解的结构 340

二、微分方程的幂级数解法 344

习题9-4 348

第五节 高阶常系数线性微分方程 349

一、特征方程与特征根 349

二、二阶常系数齐线性微分方程 349

三、二阶常系数非齐线性微分方程 352

四、n阶常系数齐线性微分方程 356

五、n阶常系数非齐线性微分方程 357

习题9-5 359

第六节 欧拉方程 360

习题9-6 363

第七节 常系数线性微分方程组求解举例 363

习题9-7 367

第十章 常差分方程 369

第一节 差分与差分运算 369

一、差分的基本概念 369

二、差分运算的性质 370

三、几个基本定理 374

习题10-1 378

第二节 常差分方程的基本概念与差分方程模型举例 379

一、常差分方程的基本概念 379

二、差分方程模型举例 380

习题10-2 384

第三节 一阶线性差分方程 384

一、一阶齐线性差分方程 384

二、一阶非齐线性差分方程 387

习题10-3 392

第四节 高阶线性差分方程 393

一、线性差分方程解的结构 393

二、常系数齐线性差分方程 396

三、常系数非齐线性差分方程 399

习题10-4 404

第五节 差分方程组 44

一、用差分方程组表示的数学模型举例 405

二、常系数线性差分方程组的求解举例 407

习题10-5 408

附录一 积分表 410

一、含有ax+b的积分（a,b为常数，且a≠0） 410

二、含有？的积分（a,b为常数，且a≠0） 410

三、含有x2±a2的积分a为常数，且a≠0） 411

四、含有ax2+b的积分（a,b为常数，且a＞0） 411

五、含有ax2+bx+c的积分（a,b,c为常数，且a＞0） 412

六、含有?的积分（a为常数，且a＞0） 412

七、含有？的积分（a为常数，且a＞0） 413

八、含有？的积分（a为常数，且a＞0） 414

九、含有？±2ax+bx+c的积分（a,b,c为常数，且a＞0） 414

十、含有？的积分（，b为常数，且≠b） 415

十一、含有三角函数的积分 415

十二、含有反三角函数的积分 417

十三含有指数函数的积分 418

十四、含有对数函数的积分 418

十五、含有双曲函数的积分 419

十六、定积分 419

附录二 习题答案 420