理论化学中的群论方法PDF电子书下载

第一章　有限群理论基础 1

1.1　群 1

1.2　共轭类 6

1.3　群的直积与直积群 9

1.4　群的同态与同构 10

1.4.1 同态 10

1.4.2 同构 12

1.5　线性空间和线性变换群，线性变换群的矩阵表示 12

1.6　内积空间与酉变换 17

1.7　群的表示 20

1.7.1 群表示的定义 20

1.7.2 三维空间中的旋转群的矩阵表示 21

1.7.3 变换作用于函数空间以及变换的矩阵表示 24

1.8　可约表示与不可约表示 25

1.9　有限群表示理论中的基本定理 28

1.10　群的特征标 35

1.10.1 特征标及其基本性质 35

1.10.2　有限群特征标的基本定理 36

1.11　群空间与群代数 38

1.11.1　群空间与群代数的定义 38

1.11.2　群函数与函数空间 41

1.11.3 类空间与类函数空间 43

1.12　直积表示和直积群的表示 47

1.12.1 直积表示 47

1.12.2　直积群的表示 48

1.13　有限群不可约表示的分类 49

第二章　点群 52

2.1　三维正交群 52

2.2　点群概要 55

2.2.1 点群的分类 55

2.2.2 点群元素的类型 55

2.2.3 点群共轭类的划分 57

2.3　第一类点群 59

2.3.1 单轴点群 59

2.3.2　二面体群 59

2.3.3　正四面体群 62

2.3.4　正八面体群 65

2.3.5　正二十面体群 67

2.4　第二类点群 68

2.4.1 由第一类点群G和空间反演群I＝｛e,i｝的直积构成的第二类点群 68

2.4.2 不包括空间反演i的第二类点群 70

2.5　点群完备性的证明 75

2.5.1 第二类点群的性质 75

2.5.2 SO（3）群的所有可能的有限子群 76

2.6　晶体学点群与描述分子对称性的连续群 80

2.6.1 由点群推广而得到的连续群 80

2.6.2 晶体学点群 81

2.7　点群小结 82

第三章　点群的不可约表示与Clebsch-Gordan系数 86

3.1 函数空间上的算子群与群表示的基函数 86

3.2　基础表示与诱导表示 89

3.2.1　基础表示 90

3.2.2　诱导表示 92

3.2.3　诱导表示的有关定理 93

3.2.4　诱导表示的举例 95

3.3 Cn群和Dn群的不可约表示 96

3.3.1 Abel点群？n和D2的不可约表示及其基矢 98

3.3.2 Dn群（n≥3）的不可约表示 104

3.4 T群和O群的不可约表示 112

3.4.1 正四面体群（T群）的不可约表示 112

3.4.2 正八面体群（O群）的不可约表示 116

3.4.3 利用诱导表示方法由T群得到O群的表示 121

3.5　第二类点群的不可约表示 124

3.5.1 第二类点群中直积群的不可约表示 124

3.5.2 与第一类点群同构的第二类点群的不可约表示 126

3.6　线性分子对称群的不可约表示 128

3.6.1 直积群D∞h的不可约表示 128

3.6.2 C∞v群的不可约表示 130

3.7　双值群SO（3）＊，O（3）＊与SO（3）群的双值表示 130

3.7.1 SU（2）群与SO（3）群同态 130

3.7.2　双值群SO（3）＊ 133

3.8　双值点群及其双值表示 135

3.8.1 双值点群的结构以及共轭元素类 135

3.8.2　双值点群？＊ n及其不可约表示 135

3.8.3 双值群D＊ n及其不可约表示 137

3.8.4　双值点群T＊和O＊及其不可约表示 141

3.8.5　第二类双值点群 143

3.9　点群的Clebsch-Gordan系数 143

3.9.1 点群不可约表示直积的分解与Clebsch-Gordan级数 143

3.9.2 点群的Clebsch-Gordan系数 144

3.9.3 点群Clebsch-Gordan系数的对称性与V-系数 147

3.10　点群的再耦合系数与W-系数 149

3.11 O群的V-系数和W-系数 152

3.11.1 O群不可约表示直积分解 152

3.11.2 O群不可约表示的标准化基矢与不可约表示的标准矩阵 152

3.11.3 O群单值表示的V-系数 158

3.11.4 O群单值表示的W-系数 161

3.12　点群不可约张量算子和Wigner-Eckart定理 162

3.12.1 点群不可约张量算子 162

3.12.2 点群不可约张量算子的Wigner-Eckart定理 164

3.12.3 耦合不可约张量算子的Wigner-Eckart定理 166

第四章　点群表示理论在分子结构中的应用 169

4.1 Schrodinger方程及其对称群 169

4.2　投影算子与对称性匹配基矢 174

4.2.1 投影算子 174

4.2.2 D4群的投影算子与对称性匹配的基矢 177

4.2.3 T群的投影算子与对称性匹配的基矢 180

4.3　分子结构中的LCAO-MO与SALC-MO方法 183

4.3.1 分子轨道LCAO-MO方法 183

4.3.2　对称匹配分子轨道SALC-MO方法 184

4.3.3　休克尔近似方法 184

4.4　不同对称性分子的分子轨道的对称性分析 188

4.4.1 C2v对称性分子的对称匹配轨道 188

4.4.2 C3v对称性分子的对称性匹配轨道 189

4.4.3 D4h对称性分子的对称匹配轨道 191

4.4.4 D5d对称性分子的对称匹配轨道 194

4.4.5 Oh对称性的正八面体AB6型分子对称匹配轨道 196

4.4.6 Td对称性的正四面体AB4型分子对称匹配轨道 198

4.5　原子轨道和杂化轨道 199

4.5.1 原子轨道的变换性质 199

4.5.2　杂化轨道理论 201

4.5.3　群论的处理方法 201

4.5.4 常见几何构型杂化轨道 202

第五章　空间群 208

5.1　空间群与Bravais点阵 208

5.1.1 Euclide群 208

5.1.2 空间群与Bravais点阵 210

5.1.3 空间群元素的类型 212

5.2　空间群的七个系列和14种Bravais点阵 212

5.2.1 空间群的七个系列（七个晶系） 212

5.2.2 平移群Tk Gb点阵的14种类型 215

5.3　空间群的确定及其符号 223

5.3.1 空间群的确定及其符号 223

5.3.2 三斜系和单斜系空间群的确定 227

5.4　正交系空间群 232

5.4.1 正交系C2v类空间群 233

5.4.2 D2类空间群 236

5.4.3　D2h类空间群 237

5.5　三角系空间群 238

5.5.1 C3类空间群和S6=C3i类空间群 239

5.5.2 C3v类空间群 239

5.5.3 D3类和D3d类空间群 240

5.6　四角系和六角系空间群 241

5.6.1 四角系空间群 241

5.6.2 六角系空间群 245

5.7　立方系空间群 246

5.7.1 T类空间群 246

5.7.2 O,Th,Td和Oh类空间群 249

5.8　周期性边界条件与平移群的有限化 251

5.9　空间群的推广——Shubnikov群 251

5.9.1 Shubnikov点群 253

5.9.2 Shubnikov空间群 256

5.10 Shubnikov空间群举例 261

5.10.1 三斜系Shubnikov空间群 261

5.10.2　单斜系Shubnikov空间群 261

5.11　空间群小结 262

第六章　空间群的表示理论 265

6.1　平移群的不可约表示与波矢空间 265

6.1.1 平移群的不可约表示与波矢向量 265

6.1.2 倒易空间的倒易点阵与Brillouin区 267

6.2　共轭表示与空间群的子群——小群 270

6.2.1 共轭表示 270

6.2.2 空间群的子群——小群 272

6.2.3 空间群GP按小群左陪集的分解与波矢星 274

6.3　小表示与允许小表示 278

6.4　空间群的不可约表示 280

6.4.1 由允许小表示诱导出的空间群的诱导表示 280

6.4.2　关于诱导表示的两个基本定理 283

6.4.3 简单空间群和Brillouin区内部的波矢k的小群GP k的允许小表示 285

6.4.4　第一Brillouin区边界上的k所对应的小群GP k的允许小表示 286

6.4.5 构造空间群不可约表示的基本方法 292

6.5　空间群不可约表示举例 293

6.5.1 空间群O3三种波矢的不可约表示 293

6.5.2 空间群O5 h的不可约表示 301

6.5.3 空间群O2与O3 h的不可约表示 302

6.6　空间群表示理论对晶体能带理论的应用 304

6.7 Shubnikov群表示理论概要——共表示简介 306

6.8　空间群表示理论小结 307

第七章　置换群及其表示理论 309

7.1　置换群 309

7.1.1　置换群 309

7.1.2　循环与对换及置换的分解 311

7.2　置换群的共轭元素类，分割与Young图 314

7.2.1 置换群的共轭类 314

7.2.2　分割与Young图 316

7.3　置换群的子群与Caylay定理 318

7.4 Frobenius公式与置换群的特征标 321

7.4.1 由子群特征标推导群的特征标 321

7.4.2 一些简单置换群的特征标 323

7.4.3 Frobenius公式与置换群的特征标 327

7.5　置换群不可约表示特征标与标准Young盘 332

7.5.1 标准Young盘与置换群不可约表示的维数 332

7.5.2　置换群Sn的不可约表示特征标 338

7.5.3 共轭表示及其特征标之间的关系 339

7.6　置换群的标准不可约表示 340

7.6.1 置换群Sn的不可约表示对子群Sn-1的分解规则 340

7.6.2　置换群不可约表示的标准基矢——Yamanouchi符号 341

7.7　标准不可约表示的表示矩阵 345

7.7.1 由Sn-1群表示矩阵寻求Sn群表示矩阵的Young-Yamanouchi定理 346

7.7.2　S2,S3,S4群的标准不可约表示矩阵 348

7.8 Young算子与置换群不可约表示的基矢 352

7.8.1 Young算子 352

7.8.2　标准Young算子与标准表示 356

7.9　置换群表示理论对Fermi子体系的应用 357

7.9.1 由总自旋函数和总轨道函数构成的全反对称函数 358

7.9.2　置换群的外积与自旋函数 361

第八章　全同核置换反演群与分子对称群及其在分子光谱中的应用 364

8.1　分子Hamiltonian群与全同核置换反演群 364

8.1.1　分子Hamiltonian及其对称群 364

8.1.2　全同核置换反演群CNPI 369

8.2 CNPI群与分子对称群 372

8.2.1 CNPI群与分子点群 372

8.2.2　等价平衡构型与MS群 373

8.2.3 CNPI和MS群的关系 376

8.3 CNPI群和MS群对非刚性分子光谱的应用 381

8.3.1 CH3BF2分子及其光谱 381

8.3.2 CH3—CH3分子及其光谱 387

8.3.3 N2H4分子及其光谱 389

8.4　准刚性分子振动光谱的群论分析 392

8.4.1 准刚性分子的振动光谱的简正振动分析 392

8.4.2　群论方法解析简正振动的理论基础 392

8.4.3　分子简正振动分析举例 394

8.4.4 配合物振动光谱的简正振动解析 396

8.4.5 红外简正振动在确定配合物构型中的应用 396

8.4.6 碳原子簇的简正振动模式解析 397

第九章　Lie群与Lie代数基础 399

9.1 Lie群与Lie代数 399

9.1.1 Lie群的定义 399

9.1.2 Lie群的连通性和紧致性 400

9.1.3 典型Lie群及其连通性与紧致性 401

9.2 Lie群局部性质的Lie理论，Lie群与Lie代数 405

9.2.1 Lie群的无穷小生成元与无穷小变换和无穷小算子 405

9.2.2 局部Lie群的Lie理论 412

9.2.3 Lie代数 416

9.3 Lie代数的基本概念 418

9.4　复半单Lie代数的Cartan形式 424

9.4.1 Cartan-Weyl基，Cartan子代数与半单Lie代数的Cartan形式 424

9.4.2 Cartan-Killing度规张量与半单Lie代数的判别定理 426

9.5　半单Lie代数根的性质与根系 430

9.5.1 半单Lie代数根的性质 430

9.5.2 半单Lie代数的根系∑与σ系 433

9.6　单Lie代数与根图 435

9.6.1 秩r≤2的单Lie代数 436

9.6.2　秩r＞2的单Lie代数 440

9.7　素根，Dynkin图，单Lie代数的分类 443

9.7.1　素根与Cartan-Weyl标准基 443

9.7.2 Dynkin图与单Lie代数的素根系 449

9.7.3 单Lie代数素根系П的Dynkin图分析 450

9.8　复数域C上的一般线性Lie代数gl（n,C）及其子代数 458

9.8.1 特殊线性Lie代数sl（n+1,C） 459

9.8.2 正交Lie代数o（m,C）和特殊正交Lie代数so（m,C） 461

9.8.3 辛Lie代数Sp（2n,C） 462

9.8.4　gl（n,C）的子代数u（n）和su（n） 464

9.8.5 Lie代数gl（n,C）及其子代数小结 465

9.9　典型Lie代数的紧致实形 467

9.9.1 实Lie代数的复扩充与复Lie代数的实形 467

9.9.2 紧致实Lie代数 469

9.9.3　典型Lie代数的紧致实形 469

9.9.4　典型Lie代数与紧致典型Lie群 470

9.10　典型Lie代数的Fermi子实现 472

9.10.1 Fermi子的产生和消灭算子及其反交换关系 472

9.10.2 Fermi子体系的最大Lie代数u（22λ） 472

9.10.3　u（22λ）的子代数o（4λ＋1）和o（4λ） 474

9.10.4 SO（4λ）群的子群SUQ（2）？Sp（2λ）及其群链 475

9.10.5 SO（4λ）群的子群U（2λ）及其群链 480

第十章　Lie群与Lie代数的表示理论 481

10.1 Lie群与Lie代数的表示 481

10.1.1　表示的一般概念 481

10.1.2　群上不变积分与紧致Lie群不可约表示的广义正交定理 482

10.2　半单Lie代数的表示与权 484

10.2.1　半单Lie代数的表示与权 484

10.2.2　权与根的关系 486

10.2.3　半单Lie代数不可约表示的标记 488

10.3　典型Lie代数不可约表示的标记及其维数 490

10.3.1 单Lie代数的Chevalley基 490

10.3.2　典型Lie代数不可约表示的标记 490

10.3.3　典型Lie代数不可约表示的维数 494

10.3.4 由最高权计算权系的方法 497

10.3.5 Lie代数An的反对称表示与对称表示 502

10.4　典型Lie代数的直积表示 503

10.4.1 直积表示 503

10.4.2　直积表示的权系与直积表示的分解 504

10.5 Casimir算子及其本征值 506

10.5.1 Casimir算子 506

10.5.2　二阶Casimir算子的本征值 508

10.5.3 二阶Casimir算子本征值的计算 509

10.5.4 Lie代数A2（su（3））的Casimir算子及其本征值 513

第十一章　Lie代数su(2),so（3）和Lie群SU(2),SO（3）的不可约表示 515

11.1 Lie代数A1的实形 515

11.1.1 Lie代数A1的实形 515

11.1.2　非紧致Lie代数su（1,1）和so（2,1） 517

11.2 Lie群SU（2）和SO（3） 519

11.2.1 Lie群SU（2）及其定义域与连通性 519

11.2.2 SO（3）群及其定义域与连通性 520

11.2.3 SU（2）群与SO（3）群的关系 521

11.3 Lie代数su（2）和Lie群SU（2）的不可约表示 522

11.3.1 Lie代数su（2）的不可约表示 522

11.3.2 SU（2）群的有限维不可约表示 528

11.3.3 SO（3）群的有限维酉表示 531

11.3.4 SU（2）和SO（3）群的表示矩阵D（j）（α，β，γ）的性质与特征标 536

11.3.5 SU（2）和SO（3）群的上积分和不可约表示的广义正交定理 539

11.3.6 SU（2）群有限维不可约表示的完备性 541

11.3.7 O（3）群的不可约表示 541

11.4 SU（2）群的Clebsch-Gordan系数、耦合基矢和Racah系数 542

11.4.1 SU（2）群直积表示的不可约表示分解与Clebsch-Gordan系数 543

11.4.2 角动量的耦合与耦合基矢 547

11.4.3 Clebsch-Gordan系数的对称性与3-j符号 550

11.4.4 Racah系数与6-j符号、9-j符号 552

11.5 SO（3）群的不可约张量算子和Wigner-Eckart定理 558

11.5.1 SO（3）群的不可约张量算子 558

11.5.2　Wigner-Eckart定理 563

11.5.3 不可约张量算子矩阵元的选择定则 568

11.6 SO（3）群与其分立子群（点群）的关系 569

11.6.1　SO（3）群不可约表示（l）向子群G的不可约表示（Γ）的分解 569

11.6.2　SO（3）点群的群间耦合系数 571

第十二章　典型紧致Lie代数的不可约表示 573

12.1 U（n）群和SU（n）群的不可约表示与不可约张量方法 573

12.1.1 U（n）群变换下的张量和张量空间 573

12.1.2 张量空间的约化与不可约张量 575

12.1.3 U（n）群不可约表示的完备性、Young图与不可约表示的维数 581

12.1.4 SU（n）群的不可约表示 583

12.1.5 U（n）群和SO（n）群的特征标与不可约表示直积的分解 584

12.1.6 U（n）群不可约表示的标准化不可约张量基 587

12.2 U（n）和SU（n）群的不可约表示Lie代数方法 592

12.2.1 U（n）群和SU（n）群的不可约表示 592

12.2.2 U（n）群的特征标 598

12.2.3 U（n）群不可约表示的正则基——Gelfand基 601

12.3 O（n）群的不可约表示与不可约张量方法 603

12.3.1 O（n）群的不可约张量表示 604

12.3.2 U（n）群不可约表示对SO（n）群的分解 609

12.4 SO（n）群的不可约表示Lie代数法 612

12.4.1 SO（n）群不可约表示的最高权 612

12.4.2 SO（n）群不可约表张量表示的最高权 614

12.4.3 SO（n）群的特征标 616

12.5　Sp（2m）群的不可约表示 618

12.5.1 Sp（2m）群的不可约表示与不可约张量方法 618

12.5.2 Sp（2m）群的不可约表示与Lie代数法 624

第十三章　Lorentz群 626

13.1　Lorentz群及其Lie代数so（3,1） 626

13.1.1 Lorentz群的定义 626

13.1.2 Lorentz群的Lie代数 627

13.1.3 Lorentz群的紧致性和连通性 629

13.2 Lorentz群的参数化 630

13.3 Poicare群与Lorentz变换 632

13.3.1 Poicare群 632

13.3.2 Lorentz变换及其物理意义 634

13.4　SL（2）群与L↑ ＋群同态 637

13.4.1 Lie代数sl（2）与so（3,1）同构 637

13.4.2　SL（2）群与L↑ ＋群的同态关系 638

结束语——物质世界的对称性 642

一、四维时间-空间的对称性及相关物理规律 642

（一）四维时空中时间的对称性 642

（二）空间对称性 643

（三）相对论的时空对称性 643

二、全同粒子置换对称性及其物理规律 643

三、动力学对称性与动力学群 644

四、基本粒子的内禀空间与内禀空间的对称群 647

（一）电子自旋与自旋空间的SU（2）群 647

（二）同位旋与同位旋空间的SU（2）群 648

（三）规范群 648