数值计算方法PDF电子书下载

1 绪论 1

1.1 现代科学技术研究的一般过程 1

1.1.1　工程问题数学化（数学建模） 1

1.1.2　数学问题数值化（算法与分析） 1

1.1.3　数值问题机器化（程序设计） 2

1.1.4　科学实验 2

1.2　数值计算研究的主要问题 3

1.2.1 线性和非线性方程组的数值解法 3

1.2.2　数值逼近 3

1.2.3　微分方程数值解 4

1.3　误差与数值计算的误差估计 4

1.3.1　误差的来源与分类 4

1.3.2　误差与有效数字 5

1.3.3　数值计算的误差估计 8

1.3.4　选用和设计算法时应遵循的原则 10

习题一 13

2　线性方程组的数值解法 15

2.1 消元法 16

2.1.1 三角形方程组的解 16

2.1.2　高斯消元法与列主元消元法 17

2.1.3 高斯-若当（Gauss-Jordan）消元法 21

2.2　直接分解法 21

2.2.1　多利特尔分解法 23

2.2.2　库朗分解 26

2.2.3　追赶法 27

2.2.4　对称矩阵的LDLT分解 28

2.3 向量和矩阵的范数 30

2.3.1 向量范数 30

2.3.2　矩阵的范数 32

2.3.3　矩阵的条件数 33

2.3.4　误差分析 36

2.4　雅可比迭代 37

2.4.1　雅可比迭代格式 37

2.4.2　雅可比迭代的收敛性 38

2.5 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代 41

2.5.1　高斯-塞德尔迭代格式 41

2.5.2　高斯-塞德尔迭代的收敛性 41

2.6　松弛迭代 43

2.6.1　松弛迭代格式 43

2.6.2　松弛迭代的收敛性 44

2.7　大型稀疏线性方程组数值解 44

2.7.1　大型稀疏矩阵的压缩存储 44

2.7.2　解大型稀疏线性方程组的共轭斜量法 47

习题二 48

3　方程（组）的迭代解法 51

3.1 引言 51

3.2　迭代解法 51

3.2.1　根的初值确定方法 52

3.2.2　迭代法的求解过程 54

3.2.3　迭代法的收敛性 57

3.2.4　迭代序列的误差估计 58

3.3　迭代公式的改进 60

3.3.1　改变方程式法之一 61

3.3.2　改变方程式法之二 64

3.3.3　牛顿迭代法 65

3.3.4　弦截法 68

3.3.5 ｜？′（x）｜＞1的处理方法 71

3.3.6　高阶迭代函数的构造方法 72

3.4　联立方程组的迭代解法 75

3.4.1　简单迭代法 75

3.4.2　关于一个收敛充分条件的证明 78

3.5　联立方程组的牛顿解法 79

习题三 81

4　插值与拟合 83

4.1　插值与拟合问题 83

4.1.1　插值问题 83

4.1.2　拟合问题 84

4.2　拉格朗日插值 85

4.2.1 拉格朗日插值多项式 85

4.2.2　插值余项与误差估计 89

4.3　均差与牛顿插值 91

4.3.1　均差及其性质 91

4.3.2 牛顿插值 92

4.4　差分与等距节点插值 94

4.4.1　差分及其性质 94

4.4.2　等距节点插值 96

4.5　其他插值方法 99

4.5.1　埃尔米特插值 99

4.5.2　分段低次插值 102

4.5.3　三次样条插值 105

4.6　曲线拟合 112

4.6.1 曲线拟合与函数逼近 112

4.6.2　曲线拟合的最小二乘法 125

习题四 131

5　数值积分与数值微分 134

5.1　数值积分问题 134

5.1.1　数值求积的基本思想 134

5.1.2　代数精度 135

5.1.3　插值型求积公式 136

5.1.4　数值积分收敛性与稳定性 137

5.2　牛顿-柯特斯数值积分 138

5.2.1　柯特斯系数 138

5.2.2　偶阶求积公式的代数精度 139

5.2.3　牛顿-柯特斯求积公式的余项 140

5.3　复化求积公式 141

5.3.1　复化梯形公式 141

5.3.2　复化辛普森求积公式 142

5.4　龙贝格求积公式 144

5.4.1　梯形法的递推化 144

5.4.2　龙贝格算法 145

5.4.3　理查森外推加速法 147

5.5 高斯求积公式 150

5.5.1　勒让德多项式 130

5.5.2　高斯-勒让德求积公式 153

5.5.3　高斯-切比雪夫求积公式 155

5.6　蒙特卡罗数值积分 157

5.6.1 蒙特卡罗方法的基本思想及特点 157

5.6.2　蒙特卡罗方法伪随机数的产生和检验 158

5.6.3　蒙特卡罗随机抽样 161

5.6.4　随机变量分布函数的构造 163

5.7　数值微分 164

5.7.1 中点方法与误差分析 164

5.7.2　插值型的求导公式 165

5.7.3　利用数值积分求导 168

5.7.4　数值微分的外推算法 170

习题五 171

6　微分方程数值解法 174

6.1 引言 174

6.2　简单的数值方法 175

6.2.1 欧拉（Euler）法 175

6.2.2　后退欧拉法 176

6.2.3　梯形方法与改进的Euler公式 177

6.2.4　单步法的有关概念 180

6.3　显式龙格-库塔方法 183

6.3.1　显式龙格-库塔方法的一般形式 183

6.3.2　2阶显式R-K方法 184

6.3.3　3阶与4阶显式R-K方法 185

6.4　线性多步法 187

6.4.1　线性多步法的一般公式 187

6.4.2　基于数值积分的方法 188

6.4.3　基于Taylor展开的方法 189

6.4.4　预测-校正方法 193

6.5　一阶方程组和高阶方程 193

6.5.1　一阶方程组 193

6.5.2　化高阶方程为一阶方程组 195

6.6　边值问题的数值解法 195

习题六 198

参考文献 200