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第1章 数学物理方程的定解问题 1

1.1 基本概念 1

1.1.1 偏微分方程的基本概念 1

1.1.2 三类常见的数学物理方程 2

1.1.3 数学物理方程的一般性问题 2

1.2 数学物理方程的导出 3

1.2.1 波动方程的导出 4

1.2.2 输运方程的导出 10

1.2.3 稳定场方程的导出 15

1.3 定解条件与定解问题 17

1.3.1 初始条件 17

1.3.2 边界条件 19

1.3.3 三类定解问题 23

1.4 本章小结 23

习题1 24

第2章 行波法 27

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 27

2.1.1 达朗贝尔（D'Alembert）公式的导出 27

2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义 29

2.1.3 依赖区间和影响区域 31

2.2 半无限长弦的自由振动 32

2.3 三维波动方程的泊松公式 35

2.3.1 平均值法 36

2.3.2 泊松公式 36

2.3.3 泊松公式的物理意义 39

2.4 强迫振动 41

2.4.1 冲量原理 41

2.4.2 纯强迫振动 43

2.4.3 一般强迫振动 44

2.5 三维无界空间的一般波动问题 45

2.6 本章小结 48

习题2 49

第3章 分离变量法 53

3.1 双齐次问题 53

3.1.1 有界弦的自由振动 53

3.1.2 均匀细杆的热传导问题 57

3.1.3 稳定场分布问题 60

3.2 本征值问题 63

3.2.1 斯特姆-刘维型方程 63

3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题 64

3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质 67

3.3 非齐次方程的处理 71

3.3.1 本征函数展开法 71

3.3.2 冲量原理法 76

3.4 非齐次边界条件的处理 76

3.4.1 边界条件的齐次化原理 77

3.4.2 其他非齐次边界条件的处理 78

3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法 81

3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 81

3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念 84

3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法 86

3.6 本章小结 89

习题3 91

第4章 特殊函数 94

4.1 二阶线性常微分方程的级数解 94

4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 94

4.1.2 方程常点邻域内的级数解 94

4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解 98

4.2 勒让德多项式 102

4.2.1 勒让德多项式 102

4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示 106

4.3 勒让德多项式的性质 107

4.3.1 勒让德函数的母函数 107

4.3.2 勒让德多项式的递推公式 109

4.3.3 勒让德多项式的正交归一性 110

4.3.4 广义傅里叶级数展开 112

4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用 113

4.5 连带勒让德函数 115

4.5.1 连带勒让德函数本征值问题 116

4.5.2 连带勒让德函数的性质 118

4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用 120

4.6 球函数 120

4.6.1 一般的球函数定义 121

4.6.2 球函数的正交归一性 121

4.6.3 球函数的应用 122

4.7 贝塞尔函数 123

4.7.1 三类贝塞尔函数（贝塞尔方程的解） 124

4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题 127

4.8 贝塞尔函数的性质 127

4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示 127

4.8.2 贝塞尔函数的递推关系 129

4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性 130

4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开 132

4.9 其他柱函数 134

4.9.1 球贝塞尔函数 134

4.9.2 虚宗量贝塞尔函数 137

4.10 贝塞尔函数的应用 139

4.11 本章小结 144

习题4 147

第5章 积分变换法 152

5.1 傅里叶变换 152

5.1.1 傅里叶积分 152

5.1.2 傅里叶变换 153

5.1.3 傅里叶变换的物理意义 155

5.1.4 傅里叶变换的性质 155

5.1.5 δ函数的傅里叶变换 160

5.1.6 n维傅里叶变换 160

5.2 傅里叶变换法 160

5.2.1 波动问题 160

5.2.2 输运问题 162

5.2.3 稳定场问题 163

5.3 拉普拉斯变换 165

5.3.1 拉普拉斯变换 165

5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理 165

5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质 169

5.4 拉普拉斯变换的应用 172

5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程 172

5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程 174

5.5 本章小结 180

习题5 182

第6章 格林函数法 185

6.1 δ函数 186

6.1.1 δ函数的定义 186

6.1.2 δ函数的性质 187

6.1.3 δ函数的应用 190

6.2 泊松方程边值问题的格林函数法 191

6.2.1 格林函数的一般概念 191

6.2.2 泊松方程的基本积分公式 192

6.3 格林函数的一般求法 198

6.3.1 无界空间的格林函数 198

6.3.2 一般边值问题的格林函数 200

6.3.3 电像法 201

6.3.4 电像法和格林函数的应用 208

6.4 格林函数的其他求法 211

6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数 211

6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数 213

6.5 本章小结 216

习题6 219

第7章 数学物理方程的其他解法 221

7.1 延拓法 221

7.1.1 半无界杆的热传导问题 221

7.1.2 有界弦的自由振动 222

7.2 保角变换法 223

7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义 223

7.2.2 拉普拉斯方程的解 226

7.3 积分方程的迭代解法 228

7.3.1 积分方程的几种分类 229

7.3.2 迭代解法 229

7.4 变分法 231

7.4.1 泛函和泛函的极值 231

7.4.2 里兹方法 234

第8章 数学物理方程的可视化计算 237

8.1 分离变量法的可视化计算 237

8.1.1 矩形区泊松方程的求解 237

8.1.2 直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用 239

8.2 特殊函数的应用 243

8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加 243

8.2.2 平面波展开为球面波的叠加 245

8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用 248

8.2.4 球体雷达散射截面的解析解 251

8.3 积分变换法的可视化计算 267

8.4 格林函数的可视化计算 268

参考文献 272