高等数学 下PDF电子书下载

第8章 多元函数微分学 1

8.1 多元函数的极限与连续 1

8.1.1 多元函数的概念 1

8.1.2 平面点集的一些概念 4

8.1.3 多元函数的极限 5

8.1.4 多元函数的连续性 9

习题8.1 11

8.2 偏导数 12

8.2.1 偏导数的定义与计算 12

8.2.2 高阶偏导数 15

习题8.2 18

8.3 全微分 19

8.3.1 全微分的定义与计算 19

8.3.2 全微分在近似计算中的应用 23

习题8.3 24

8.4 多元复合函数微分法 25

8.4.1 多元复合函数的链式法则 25

8.4.2 全微分形式不变性 31

习题8.4 32

8.5 隐函数微分法 33

8.5.1 一个方程的情形 33

8.5.2 方程组的情形 36

习题8.5 41

8.6 微分法在几何上的应用 42

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 42

8.6.2 曲面的切平面与法线 44

习题8.6 47

8.7 方向导数与梯度 48

8.7.1 方向导数 48

8.7.2 梯度 52

习题8.7 55

8.8 多元函数的极值 56

8.8.1 极值存在的必要条件与充分条件 56

8.8.2 最大值与最小值问题 58

8.8.3 条件极值 60

习题8.8 64

8.9 二元函数的泰勒公式 65

8.9.1 二元函数的泰勒公式 65

8.9.2 二元函数极值充分条件的证明 69

习题8.9 70

8.10 最小二乘法 71

习题8.10 74

第9章 重积分 75

9.1 二重积分的定义及简单性质 75

9.1.1 曲顶柱体体积的计算 75

9.1.2 平面薄片质量的问题 76

9.1.3 二重积分的定义 77

9.1.4 二重积分的简单性质 78

习题9.1 80

9.2 二重积分的计算 80

习题9.2 87

9.3 二重积分的换元法 88

9.3.1 一般换元公式 88

9.3.2 二重积分在极坐标系下的计算 90

习题9.3 98

9.4 二重积分的应用 99

9.4.1 二重积分的微元法 99

9.4.2 曲面的面积 100

9.4.3 平面薄片的重心 102

9.4.4 平面薄片的转动惯量 103

9.4.5 平面薄片对质点的引力 104

习题9.4 105

9.5 三重积分的概念与计算 106

9.5.1 三重积分的定义 106

9.5.2 利用直角坐标计算三重积分 106

习题9.5 112

9.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 113

9.6.1 三重积分的换元法 113

9.6.2 利用柱面坐标计算三重积分 115

9.6.2 利用球面坐标计算三重积分 117

习题9.6 120

第10章 曲线积分与曲面积分 122

10.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 122

10.1.1 曲线形物体的质量 122

10.1.2 对弧长的曲线积分的定义 123

10.1.3 对弧长的曲线积分的性质 124

10.1.4 对弧长的曲线积分的计算 124

10.1.5 对弧长的曲线积分的几何应用与物理应用 127

习题10.1 128

10.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） 128

10.2.1 变力沿曲线所做的功 128

10.2.2 对坐标的曲线积分的定义 129

10.2.3 对坐标的曲线积分的性质 131

10.2.4 对坐标的曲线积分的计算 131

10.2.5 两类曲线积分之间的关系 135

习题10.2 136

10.3 格林公式 137

10.3.1 平面区域的分类与平面区域边界的定向 137

10.3.2 格林公式 138

10.3.3 格林公式的应用 140

10.3.4 曲线积分与路径无关问题 142

10.3.5 曲线积分与路径无关的条件 143

10.3.6 二元函数的全微分求积 145

习题10.3 148

10.4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 149

10.4.1 曲面形物体的质量 149

10.4.2 对面积的曲面积分的定义 150

10.4.3 对面积的曲面积分的计算 150

习题10.4 154

10.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） 155

10.5.1 流量问题 155

10.5.2 有向曲面及其在坐标面上的投影 156

10.5.3 对坐标的曲面积分的定义 157

10.5.4 对坐标的曲面积分的计算 158

10.5.5 两类曲面积分之间的关系 162

习题10.5 165

10.6 高斯公式 通量与散度 166

10.6.1 高斯公式 166

10.6.2 高斯公式的应用 167

10.6.3 高斯公式的物理意义 通量与散度 170

习题10.6 172

10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 173

10.7.1 斯托克斯公式 173

10.7.2 斯托克斯公式的简单应用 175

10.7.3 环流量与旋度 176

习题10.7 178

第11章 级数 180

11.1 常数项级数的概念和性质 180

11.1.1 常数项级数的定义及收敛性概念 180

11.1.2 常数项级数的基本性质 183

11.1.3 级数收敛的必要条件 184

习题11.1 185

11.2 正项级数的敛散性判别 186

11.2.1 比较判别法 187

11.2.2 积分判别法 188

11.2.3 比较判别法的极限形式 189

11.2.4 比值判别法 190

11.2.5 根值判别法 192

习题11.2 193

11.3 绝对收敛与条件收敛 194

习题11.3 196

11.4 幂级数 197

11.4.1 函数项级数的一般概念 197

11.4.2 幂级数及其收敛性 198

11.4.3 幂级数的运算及和函数的性质 202

习题11.4 205

11.5 函数展开成幂级数 205

11.5.1 函数展开成幂级数的条件 206

11.5.2 函数展开成幂级数 208

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用 214

习题11.5 218

11.6 傅里叶级数 218

11.6.1 三角级数 三角函数系的正交性 218

11.6.2 函数展开成傅里叶级数 220

11.6.3 正弦级数和余弦级数 225

11.6.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 228

11.6.5 傅里叶级数的复数形式 230

习题11.6 233

第12章 常微分方程 234

12.1 基本概念 234

12.1.1 实例 234

12.1.2 基本概念 236

习题12.1 239

12.2 变量可分离方程与齐次方程 239

12.2.1 变量可分离方程 240

12.2.2 齐次方程 242

习题12.2 246

12.3 一阶线性微分方程 247

12.3.1 一阶线性微分方程与常数变易法 247

12.3.2 伯努利方程 251

习题12.3 252

12.4 全微分方程 253

12.4.1 全微分方程 253

12.4.2 一阶微分方程综合例题 257

习题12.4 258

12.5 可降阶的高阶微分方程 259

习题12.5 263

12.6 高阶线性微分方程 263

习题12.6 270

12.7 常系数齐次线性微分方程 270

习题12.7 274

12.8 常系数非齐次线性微分方程 274

习题12.8 279

12.9 变系数线性方程 280

12.9.1 常数变易法 280

12.9.2 欧拉方程 283

习题12.9 284

12.10 微分方程的幂级数解法 284

习题12.10 287

12.11 常系数线性微分方程组 287

习题12.11 289

12.12 常微分方程应用举例 290

习题12.12 301

12.13 常微分方程初值问题的数值解法 302

习题12.13 305

习题参考答案与提示 306