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预备知识 函数 1

1 实数 1

一、实数集 1

二、绝对值 3

三、邻域 3

习题0．1 4

2 函数 4

一、函数概念 4

二、函数的几个常用性质 8

习题0．2 11

3 复合函数 13

习题0．3 14

4 反函数 15

习题0．4 17

5 初等函数 17

一、基本初等函数 17

二、初等函数 22

习题0．5 22

6 双曲函数 23

习题0．6 25

补充题 25

阅读材料一 函数概念的形成与发展 26

第一章 极限 28

1 数列的极限 28

习题1．1 33

2 函数的极限 33

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 33

二、自变量趋向定值时函数的极限 35

三、左极限与右极限 37

习题1．2 38

3 无穷小量与无穷大量 39

一、无穷小量 39

二、无穷大量 41

习题1．3 44

4 关于极限的几个定理 45

习题1．4 46

5 极限运算法则 46

一、无穷小的运算性质 47

二、极限四则运算法则 48

习题1．5 52

6 极限存在准则两个重要极限 54

一、夹逼准则 54

二、单调有界准则 58

三、柯西 60

极限存在准则 62

习题1．6 63

7 无穷小的比较 63

习题1．7 66

8 函数的连续性 66

一、函数的连续性概念 67

二、函数的间断点 68

习题1．8 70

9 连续函数的运算与初等函数的连续性 71

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 71

二、连续函数的反函数 72

三、连续函数的复合函数 72

四、初等函数的连续性 74

习题1．9 75

10 闭区间上连续函数的性质 75

一、最大值最小值定理 75

二、介值定理 77

三、函数的一致连续性 78

习题1．10 79

补充题 79

阅读材料二 极限概念的形成 80

第二章 导数与微分 81

1 导数概念 81

一、关于变化率的例 81

二、导数的定义 83

三、按定义求导数举例 84

四、导数的几何意义 88

习题2．1 89

2 初等函数的导数 90

一、导数的四则运算法则 91

二、复合函数的求导法则 93

三、反函数的导数 97

四、初等函数求导的基本公式和法则 99

习题2．2 100

3 高阶导数 102

习题2．3 106

4 隐函数及参量函数的导数相关变化率 107

一、隐函数的导数 107

二、参量函数的导数 110

三、相关变化率 112

习题2．4 113

5 函数的微分 114

一、微分 115

二、微分的几何意义 117

三、一阶微分形式不变性微分公式 117

习题2．5 120

6 微分在近似计算上的应用 121

一、函数的近似公式 121

二、函数的误差估计 122

习题2．6 123

补充题 124

阅读材料三 生动的直观确切的概念 125

第三章 导数的应用 126

1 中值定理 126

一、罗尔定理 126

二、拉格朗日中值定理 127

三、柯西中值定理 130

习题3．1 131

2 罗必塔法则 133

习题3．2 138

3 泰勒公式 139

习题3．3 143

4 函数的单调性 144

习题3．4 148

5 函数的极值 149

一、函数的极值 149

二、最大值与最小值问题 153

习题3．5 154

6 曲线的凹凸与拐点 156

习题3．6 159

7 渐近线 160

习题3．7 163

8 函数图形的描绘 163

习题8．8 167

9 曲率 167

一、弧长的微分 167

二、曲率 169

三、曲率圆 172

四、曲率中心的计算公式 173

五、渐屈线与渐伸线 174

习题3．9 175

10 方程的近似解 175

一、弦位法 175

二、切线法 177

习题3．10 179

补充题 179

阅读材料四 不等式的微分证法 181

第四章 不定积分 186

1 不定积分的概念 186

2 基本积分表和不定积分的性质 188

习题4．2 191

3 换元积分法 193

一、第一换元法 193

二、第二换元法 198

习题4．3 202

4 分部积分法 203

习题4．4 208

5 几种特殊类型函数的积分 209

一、有理函数的积分 209

二、三角函数的有理式的积分 214

三、某些简单无理函数的积分 216

习题4．5 218

6 积分表的使用 219

习题4．6 221

7 不定积分的基本方法概述 222

补充题 224

阅读材料五 分部积分法的一个分部经验 225

第五章 定积分 227

1 定积分概念 227

一、定积分问题的例 227

二、定积分的定义 230

三、定积分的几何意义 232

习题5．1 233

2 定积分的性质 234

习题5．2 238

3 微积分基本公式 239

习题5．3 245

4 定积分的换元法与分部积分法 247

一、定积分的换元法 247

二、定积分的分部积分法 253

习题5．4 255

5 定积分的近似计算 258

一、矩形法与梯形法 258

二、抛物线法 260

习题5．5 262

6 广义积分 263

一、无穷限的广义积分 263

二、无界函数的广义积分 266

习题5．6 269

补充题 270

阅读材料六 微积分史简述 272

第六章 定积分的应用 274

1 微元分析法 274

2 平面图形的面积 276

一、直角坐标系中的面积公式 276

二、极坐标系中的面积公式 279

习题6．2 280

3 体积 281

一、平行截面面积为已知的立体体积 281

二、旋转体的体积 282

习题6．3 285

4 平面曲线的弧长 286

习题6．4 290

5 旋转体的侧面积 290

6 功引力液体静压力 292

一、变力沿直线作功 292

二、引力 294

三、液体的静压力 295

习题6．6 295

7 函数的平均值 296

习题6．7 298

补充题 298

第七章 矢量代数与空间解析几何 299

1 空间直角坐标系 299

一、空间直角坐标系 299

二、两点间的距离 300

三、方程的几何意义 301

习题7．1 303

2 矢量基本概念 303

习题7．2 306

3 矢量的运算 306

一、矢量的加减法 306

二、矢量的数乘 308

三、矢量的数积 310

四、矢量的矢积 310

五、矢量的混合积 313

习题7．3 314

4 平面与直线 316

一、平面的方程 316

二、空间直线的方程 319

三、点、直线、平面的位置关系 322

四、平面束 324

习题7．4 325

5 一些空间曲面与曲线 327

一、柱面 327

二、旋转曲面 329

三、锥面 331

四、几种常见的二次曲面 332

五、空间曲线的参数方程 336

六、空间曲线在坐标平面上的投影 338

七、空间区域的简图 340

习题7．5 341

补充题 343

阅读材料七 二次曲面的分类 344

附表 基本积分公式、积分表 346

习题答案 361