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第7章　空间解析几何与向量代数 1

7.1　空间直角坐标系 1

7.1.1　空间直角坐标系 1

7.1.2　空间两点间的距离 3

7.2　向量的线性运算及向量的坐标 4

7.2.1　向量的概念 4

7.2.2　向量的线性运算 5

7.2.3　向量的坐标表达式 7

7.2.4　向量的模、方向角、投影 8

7.3　数量积　向量积　混合积 12

7.3.1　向量的数量积 12

7.3.2　向量的向量积 14

7.3.3　向量的混合积 16

7.4　曲面及其方程 18

7.4.1　曲面方程的概念 18

7.4.2　平面方程 21

7.5　空间曲线及其方程 25

7.5.1　空间曲线 25

7.5.2　空间直线及其方程 28

7.5.3　二次曲面 31

模拟考场七 34

数学家史话　一宵奇梦定终生——Descartes 35

第8章　多元函数微分法及其应用 38

8.1　多元函数的极限与连续 38

8.1.1　平面点集与n维空间 38

8.1.2　多元函数的概念 41

8.1.3　多元函数的极限 44

8.1.4　多元函数的连续性 46

8.2　偏导数 50

8.2.1　偏导数定义及其求法 50

8.2.2　偏导数的几何意义 54

8.2.3　高阶偏导数 55

8.3　全微分 58

8.3.1　全微分的定义 58

8.3.2　可微分的条件 59

8.3.3　全微分在近似计算中的应用 63

8.4　多元复合函数求导法则 66

8.4.1　复合函数 66

8.4.2　复合函数的求导法则 6

8.4.3　全微分的形式不变性 72

8.4.4　复合函数的高阶偏导数 73

8.5　隐函数的求导公式 75

8.5.1　一个方程的情形 75

8.5.2　方程组的情形 79

8.6　多元函数微分学的几何应用 82

8.6.1　一元向量值函数及其导数 82

8.6.2　空间曲线的切线与法平面 84

8.6.3　曲面的切平面与法线 88

8.7　方向导数与梯度 92

8.7.1　方向导数 92

8.7.2　梯度 95

8.7.3　数量场与向量场 98

8.8　多元函数的极值及其求法 99

8.8.1　多元函数的极值及最大值、最小值 99

8.8.2　条件极值（conditional extremum）Lagrange乘数法 102

模拟考场八 106

数学家史话　无冕之王——Hilbert 108

第9章　重积分 110

9.1　二重积分的概念与性质 110

9.1.1　二重积分的概念 110

9.1.2　二重积分的性质 113

9.2　直角坐标系下二重积分的计算 115

9.2.1　积分区域的类型 116

9.2.2　二重积分的计算 117

9.2.3　利用对称性计算二重积分 121

9.3　二重积分的极坐标计算和换元法 122

9.3.1　利用极坐标计算二重积分 123

9.3.2　二重积分的换元法 125

9.4　三重积分的概念及其计算 127

9.4.1　三重积分的定义 127

9.4.2　直角坐标系下三重积分的计算 128

9.5　利用柱面和球面坐标计算三重积分 132

9.5.1　利用柱面坐标计算三重积分 132

9.5.2　利用球面坐标计算三重积分 133

9.6　重积分的应用 135

9.6.1　曲面的面积 135

9.6.2　重心 137

9.6.3　转动惯量 138

9.6.4　空间立体对质点的引力 139

模拟考场九 140

数学家史话　数学大师——Riemann 142

第10章　曲线积分和曲面积分 144

10.1　对弧长的曲线积分 144

10.1.1　对弧长的曲线积分的定义 144

10.1.2　对弧长曲线积分的性质 145

10.1.3　对弧长曲线积分的计算 146

10.1.4　对弧长的曲线积分的应用 148

10.2　对坐标的曲线积分 151

10.2.1　对坐标的曲线积分的定义与性质 151

10.2.2　对坐标的曲线积分的计算 153

10.2.3　对坐标的曲线积分的应用 157

10.3　Green公式 160

10.3.1　Green公式 160

10.3.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 164

10.3.3　二元函数的全微分求积 166

10.4　对面积的曲面积分 170

10.4.1　对面积的曲面积分的定义 170

10.4.2　对面积的曲面积分的性质 171

10.4.3　对面积的曲面积分的计算 172

10.4.4　对面积的曲面积分的应用 173

10.5　对坐标的曲面积分 176

10.5.1　对坐标的曲面积分的定义和性质 176

10.5.2　对坐标的曲面积分的计算法 179

10.5.3　两类曲面积分之间的联系 182

10.6　Gauss公式 184

10.6.1　Gauss公式 184

10.6.2　用Gauss公式计算曲面积分 186

模拟考场十 188

数学家史话　数学天才——Gauss 189

第11章　无穷级数 192

11.1　无穷级数的概念和性质 192

11.1.1　常数项级数的概念 192

11.1.2　级数收敛与发散的定义 193

11.1.3　收敛级数的基本性质 194

11.1.4　级数收敛的必要条件 196

11.2　正项级数审敛法 197

11.2.1　比较审敛法 197

11.2.2　比值审敛法 200

11.2.3　根值审敛法 202

11.3　一般常数项级数 203

11.3.1　交错级数 203

11.3.2　绝对收敛与条件收敛 204

11.4　幂级数 207

11.4.1　函数项级数的概念 207

11.4.2　幂级数及其收敛域 207

11.4.3　幂级数的运算 212

11.5　函数展开成幂级数 215

11.5.1　Taylor级数 215

11.5.2　函数展开为幂级数 217

11.5.3　函数幂级数展开式的应用 220

11.6　Fourier级数 224

11.6.1　三角级数及三角函数系的正交性 224

11.6.2　函数展开成Fourier级数 226

11.6.3　正弦级数和余弦级数 230

11.6.4　非周期函数的Fourier级数 232

11.6.5　周期为2ι周期函数的Fourier级数 234

模拟考场十一 237

数学家史话　数学天才——Abel 238

习题答案 240

附录　几种常见的曲面 257