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第八章 多元函数微分法及其应用 1

1 多元函数的极限 1

一、多元函数的概念 1

二、二元函数的几何意义 2

三、点函数的极限 3

四、多元函数的连续性 6

习题8．1 8

2 偏导数 9

一、偏导数概念 9

二、二元函数偏导数的几何意义 12

习题8．2 13

3 全微分及其应用 13

一、全微分概念 13

二、全微分在近似计算中的应用 17

习题8．3 19

4 方向导数 20

习题8．4 22

5 复合函数的微分法 32

一、连锁规则 22

二、一阶全微分形式的不变性 28

习题8．5 29

6 隐函数微分法 30

一、由方程确定的隐函数 30

二、由方程组确定的隐函数 32

习题8．6 36

7 高阶偏导数 37

习题8．7 42

8 偏导数的几何应用 43

一、空间曲线的切线与法平面 43

二、曲面的切平面与法线 47

习题8．8 50

9 多元函数的极值 1

一、极值 51

二、最大值与最小值 52

三、条件极值 53

习题8．9 57

10 最小二乘法简介 58

11 二元函数的泰勒公式 60

补充题 63

阅读材料八 二重极限和二次极限 63

第九章 重积分 66

1 二重积分的概念与性质 66

一、二重积分的概念 66

二、二重积分的基本性质 68

习题9．1 70

2 二重积分的计算方法 71

一、用直角坐标计算 71

二、用极坐标计算 79

三、二重积分的换元公式 84

习题9．2 85

3 三重积分 87

一、三重积分的概念和计算 87

二、用柱面坐标计算三重积分 90

三、用球面坐标计算三重积分 92

习题9．3 96

4 重积分的应用 98

一、曲面的面积 98

二、物体的重心 101

三、转动惯量 104

习题9．4 105

5 含参变量的积分 106

习题9．5 112

补充题 113

第十章 曲线积分与曲面积分 115

1 对弧长的曲线积分 115

一、对弧长的曲线积分的概念 115

二、对弧长的曲线积分的基本性质 117

三、对弧长的曲线积分的计算法 118

习题10．1 121

2 对坐标的曲线积分 122

一、对坐标的曲线积分的概念 122

二、对坐标的曲线积分的基本性质 125

三、对坐标的曲线积分的计算法 126

四、第一、二类曲线积分之间的关系 130

习题10．2 131

3 曲线积分与路径无关的条件 132

一、格林公式 132

二、曲线积分与路径无关的条件 135

三、二元函数的全微分求积 139

习题10．3 143

4 对面积的曲面积分 144

一、对面积的曲面积分的概念 145

二、对面积的曲面积分的基本性质 146

三、对面积的曲面积分的计算法 147

习题10．4 150

5 对坐标的曲面积分 150

一、对坐标的曲面积分的概念 150

二、对坐标的曲面积分的基本性质 154

三、两类曲面积分的关系 155

四、对坐标的曲面积分的计算法 156

习题10．5 158

6 曲线积分、曲面积分与重积分的关系 158

一、斯托克斯公式 158

二、空间曲线积分与路径无关的条件 162

三、奥-高公式 163

习题10．6 167

补充题 168

第十一章 数项级数 169

1 数项级数的概念 169

习题11．1 172

2 级数的一般性质 172

习题11．2 178

3 正项级数 179

一、比较判别法 179

二、比值判别法 183

三、根值判别法 186

四、积分判别法 187

习题11．3 188

4 任意项级数 190

一、绝对收敛与条件收敛 190

二、绝对收敛级数的重要性质 194

习题11．4 198

5 广义积分敛散性判别法 198

一、敛散性判别法 199

二、Γ-函数 204

三、B-函数 206

习题11．5 206

补充题 207

阅读材料九 关于级数敛散性的一些问题 208

第十二章 幂级数 212

1 函数项级数的概念 212

2 幂级数 214

一、幂级数的收敛域 214

二、幂级数的运算性质 221

习题12．2 225

3 泰勒级数 226

习题12．3 234

4 函数值的近似计算 235

习题12．4 238

5 欧拉公式 239

6 函数项级数的一致收敛 240

一、一致收敛的概念 240

二、一致收敛的判定 242

三、一致收敛级数的重要性质 244

四、三个定理的证明 247

习题12．6 249

补充题 249

第十三章 傅里叶级数 251

1 函数的傅里叶级数 251

习题13．1 257

2 奇函数与偶函数的傅里叶级数 258

习题13．2 261

3 半区间上函数的傅里叶级数 261

习题13．3 263

4 任意区间上函数的傅里叶级数 263

习题13．4 269

5 傅里叶级数的指数形式 270

习题13．5 273

补充题 273

阅读材料十 傅里叶级数的产生 273

第十四章 常微分方程 276

1 常微分方程的基本概念 276

习题14．1 281

2 可分离变量方程 281

习题14．2 283

3 齐次方程 283

一、齐次方程 283

二、可化齐次方程 288

习题14．3 290

4 一阶线性方程 291

一、一阶线性齐次方程 291

二、一阶线性非齐次方程 293

三、伯努利方程 297

习题14．4 299

5 全微分方程 300

习题14．5 306

6 可降阶的高阶微分方程 306

习题14．6 312

7 线性微分方程解的结构 313

一、二阶线性齐次方程 313

二、二阶线性非齐次方程 316

三、n阶线性方程 317

习题14．7 318

8 常系数线性微分方程 319

一、二阶常系数线性齐次方程 319

二、n阶常系数线性齐次方程 321

三、二阶常系数线性非齐次方程 322

四、n阶常系数线性非齐次方程 328

五、应用简介 329

习题14．8 331

9 欧拉方程 332

习题14．9 333

10 幂级数解法简介 334

习题14．10 337

11 常系数线性微分方程组的初等解法简介 338

12 一阶微分方程近似解法简介 340

补充题 342

阅读材料十一 解一阶微分方程的几个问题 344

一、求解公式 344

二、变量代换 344

三、积分因子 346

四、隐式方程 348

第十五章 场论初步 352

1 矢量分析 352

一、矢性函数的概念 352

二、矢性函数的图形 353

三、矢性函数的极限 353

四、矢性函数的导数 354

五、矢性函数的微分 355

六、矢性函数的积分 356

七、例 357

习题15．1 359

2 场的概念 360

一、场 360

二、数量场的等值面 361

三、矢量场的矢量线 361

习题15．2 362

3 数量场的梯度 362

一、方向导数 362

二、梯度 363

习题15．3 365

4 矢量场的通量与散度 366

一、通量 366

二、散度 368

习题15．4 370

5 矢量场的环量与旋度 370

一、环量与环量面密度 370

二、旋度 372

习题15．5 374

6 哈密顿算子 374

补充题 375

阅读材料十二 几种重要的矢量场简介 375

习题答案 377