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第1章　数学概念 1

1.1　数学概念浅说 1

引子　一物三吃 1

1.1.1　数学概念界定 2

1.1.2　数学概念特征 2

1.1.3　数学概念表达 4

1.1.4　数学概念产生与发展的途径 5

1.1.5　数学概念存在性 7

附录A　丰子恺画画不要脸 8

1.2　数学概念分类 8

引子　公孙龙诡论：“白马非马” 8

1.2.1　种概念与属概念 9

1.2.2　单独概念与普遍概念 9

1.2.3　组合概念与个体概念 10

1.2.4　肯定概念与否定概念 11

1.2.5　相对概念与绝对概念 11

1.2.6　抽象概念与具体概念 12

1.3　数学概念关系 13

引子　外国笑话：“给”不行，“拿”可以 13

1.3.1　相容关系 14

1.3.2　不相容关系（全异关系） 15

附录B　生死一知己，存亡两妇人 17

1.4　数学定义概说 17

引子　柏拉图的人 17

1.4.1　数学定义界说 18

1.4.2　数学定义规则 18

1.4.3　数学定义种类 19

1.4.4　数学定义模式 23

1.5　数学概念划分 25

1.5.1　数学概念划分概述 25

1.5.2　数学概念划分规则 26

1.5.3　数学概念划分种类 26

1.6　数学概念限制与概括 27

引子　卓别林不吃“美国鸭” 27

1.6.1　数学概念限制 28

1.6.2　数学概念概括 28

第2章　数学命题 30

2.1　逻辑命题概说 30

引子　巧媳妇智斗刁知府 30

2.1.1　命题常识 31

2.1.2　简单命题 32

2.1.3　复合命题 34

2.1.4　命题演算 37

2.1.5　再议假言命题 38

附录C　命题趣闻三则 40

2.2　数学命题概说 41

2.2.1　数学命题的表现形态 41

2.2.2　数学命题的四种形式 43

2.2.3　数学逆命题的构造 45

2.2.4　数学否命题的构造 46

2.2.5　数学命题的推广 47

附录D　公理化思想简介 49

2.3　逻辑代数基础 52

2.3.1　背景介绍 52

2.3.2　逻辑代数概述 54

2.3.3　逻辑函数概述 56

2.3.4　逻辑方程入门 62

第3章　数学推理 68

3.1　推理概说 68

引子　商纣王的象牙筷子 68

3.1.1　推理结构及类型 69

3.1.2　推理有效性 70

3.1.3　对当关系推理 71

3.1.4　命题变形推理 73

附录E　直接推理趣闻三则 75

3.2　演绎推理 77

引子　铁齿铜牙纪晓岚 77

3.2.1　三段论（直言推理） 78

3.2.2　关系推理 82

3.2.3　联言推理与选言推理 83

3.2.4　假言推理 84

3.2.5　演绎推理在科学中的应用 85

附录F　演绎推理趣味故事五则 87

3.3　归纳推理 90

引子　孙思邈巧治脚气病 90

3.3.1　归纳推理概述 91

3.3.2　枚举归纳推理 92

3.3.3　因果归纳推理 99

3.3.4　现代归纳逻辑 111

3.3.5　哲学争论：归纳与演绎的关系 112

附录G　增兵减灶 114

3.4　类比推理 115

引子　鲁班发明锯子的故事 115

3.4.1　类比推理概述 116

3.4.2　数学中的类比推理 118

3.4.3　类比与归纳的关系 130

3.4.4　类比与比较的关系 134

3.4.5　类比与联想的关系 135

附录H　类比推理趣味故事二则 142

第4章　数学证明 144

4.1　数学证明概说 144

引子　胸中有圣人 144

4.1.1　数学证明概述 144

4.1.2　数学证明规则 146

4.1.3　数学证明方法 147

4.1.4　数学证明的价值 151

4.1.5　数学证明与其他学科证明的关系 155

附录Ⅰ　证明趣味小故事三则 156

4.2　间接证明与反驳 158

引子　超人的轶事 158

4.2.1　反证法 159

4.2.2　同一法 171

4.2.3　反驳 172

4.2.4　反例 174

附录J　反证与反驳趣味小故事三则 179

4.3　分析法与综合法 180

4.3.1　方法论中的分析与综合 180

4.3.2　数学中的分析法与综合法 183

4.4　数学归纳法 191

4.4.1　数学归纳法概述 191

4.4.2　数学归纳法应用 196

4.4.3　数学归纳法发展简史 207

附录K　数学史上亘古未有的奇迹 208

第5章　逻辑基础 211

5.1　逻辑规律 211

引子 人的头上能长出角 211

5.1.1　同一律 212

5.1.2　矛盾律 213

5.1.3　排中律 214

5.1.4　充足理由律 215

5.1.5　思维规律之间的关系 216

附录L　逻辑规律趣味故事五则 217

5.2　逻辑缺口 220

5.2.1　悖论 221

5.2.2 二难推理 227

5.2.3　二律背反 230

5.2.4　哥德尔不完备性定理 232

附录M 难推理趣味小故事三例 233

5.3　辩证逻辑 234

5.3.1　辩证概述 234

5.3.2　辩证逻辑规律 235

5.3.3　辩证逻辑与形式逻辑的关系 241

参考文献 243