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第1章 函数、极限和连续 1

1.1函数 1

一、函数的基本概念 1

二、函数的基本特性 2

三、函数的基本运算 3

四、初等函数与分段函数 5

五、无穷数列 8

习题1.1 9

1.2极限的概念 11

一、数列的极限 11

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 14

三、自变量趋于有限值时函数的极限 16

习题1.2 21

1.3无穷小与无穷大 22

一、无穷小 22

二、无穷大 23

习题1.3 24

1.4极限的性质 25

一、极限存在条件下函数的局部性质 25

二、极限的性质 26

习题1.4 27

1.5极限运算法则与极限存在准则 28

一、极限的四则运算法则 28

二、复合函数的极限运算法则 32

三、极限存在准则 34

习题1.5. 35

1.6两个重要极限与等价无穷小替换的应用 36

一、两个重要极限的应用 36

二、无穷小等价替换的应用 39

习题1.6 41

1.7极限的初步应用 42

一、比较无穷小的阶 42

二、求曲线的渐进线 44

习题1.7 45

1.8函数的连续性与间断点 46

一、函数连续的概念 46

二、连续函数的运算与初等函数的连续性 48

三、分段函数连续性的讨论 49

四、函数的间断点 50

习题1.8 52

1.9闭区间上连续函数的性质 53

一、最值定理与有界定理 54

二、介值定理与零点定理 55

习题1.9 56

综合测试题一 57

第2章 微分与导数 60

2.1微分的概念与基本性质 60

一、微分的概念 60

二、微分的基本性质 62

习题2.1 64

2.2导数的概念与基本性质 65

一、导数的概念 65

二、导数的意义 69

三、导数的基本性质 70

四、微分学基本概念的定义形式及其关系小结 72

习题2.2 73

2.3导数与微分的运算法则 74

一、基本导数公式与基本微分公式 74

二、导数与微分的四则运算法则 75

习题2.3（1） 78

三、复合函数的求导法则与微分法则 78

四、反函数的求导法则 82

五、分段函数在分段点处导数的求法 83

习题2.3（2） 85

六、高阶导数 87

习题2.3（3） 90

2.4隐函数与参数方程确定的函数的导数及相关变化率 90

一、隐式函数的导数 90

二、参数函数的导数 92

三、相关变化率 95

习题2.4 96

综合测试题二 97

第3章 微分中值定理和导数的应用 102

3.1微分中值定理 102

一、罗尔定理 102

二、拉格朗日定理 104

三、柯西定理 106

习题3.1 107

3.2函数的增减性与极值最大值与最小值 109

一、函数的增减性 109

二、函数的极值 112

三、最大值与最小值 114

四、解几何与实际问题中的最值问题 116

习题3.2 116

3.3曲线的凹凸性与拐点曲率 118

一、曲线的凹凸性与拐点 118

二、曲线的曲率 121

习题3.3 123

3.4函数图形的描绘 124

一、直角坐标系下曲线的描绘 124

二、极坐标系下曲线的描绘 126

三、极坐标表示的曲线的切线斜率与曲率 128

习题3.4 128

3.5罗必达法则 129

一、关于0/0和∞/∞型未定式的罗必达法则 129

二、其他类型未定式的极限 132

三、不能直接用罗必达法则计算的极限举例 134

习题3.5 135

3.6泰勒公式 137

一、带皮亚诺余项的泰勒公式 137

二、带拉格朗日余项的泰勒公式 140

三、高阶微分的概念与高阶导数的记号 143

习题3.6 143

综合测试题三 144

第4章 定积分与不定积分 147

4.1定积分的概念与基本性质 147

一、定积分的概念 147

二、定积分的几何意义 151

三、定积分的基本性质 152

四、奇偶函数的定积分 153

习题4.1 154

4.2不定积分的概念与微积分基本定理 155

一、原函数的概念 156

二、不定积分的概念 158

三、不定积分的基本性质 159

四、牛顿—莱布尼兹公式 160

习题4.2 162

4.3积分公式与积分方法 163

一、基本积分公式 163

二、分项积分法 164

三、分段积分法 166

习题4.3（1） 167

四、拼凑微分法 168

习题4.3（2） 175

五、分部积分法 176

习题4.3（3） 181

六、变量替换法 182

七、积分法注记与特殊积分法 191

习题4.3（4） 193

4.4变限积分函数与定积分中值定理 194

一、变限积分函数 195

二、定积分中值定理 198

三、积分学基本概念及其导数小结 201

习题4.4 201

4.5广义积分 204

一、无限区间上的广义积分 204

二、有无穷间断点的广义积分 206

三、Γ函数与β函数 208

习题4.5 210

综合测试题四 211

第5章 定积分的应用 216

5.1定积分的微元法 216

一、曲边梯形面积建立过程的简化 216

二、微元法 217

习题5.1 218

5.2平面图形的面积 218

一、直角坐标情形 218

二、极坐标情形 221

习题5.2 222

5.3体积 223

一、旋转体的体积 223

二、平行截面面积为已知的立体的体积 225

习题5.3 226

5.4平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 227

一、平面曲线的弧长 227

二、旋转曲面的面积 228

习题5.4 229

5.5定积分在物理上的应用 230

一、变力沿直线作功 230

二、液体静压力 232

三、引力 233

习题5.5 234

综合测试题五 235

第6章 微分方程 238

6.1微分方程的基本概念 238

一、微分方程及其阶 238

二、微分方程的解、通解、特解与初始条件 239

三、微分方程的形式 240

习题6.1 241

6.2一阶可分离变量的微分方程 241

一、可分方程 242

二、齐次方程 243

习题6.2 245

6.3一阶线性微分方程 246

一、线性方程 246

二、贝努利方程 250

三、积分因子法的一个应用 250

习题6.3 251

6.4二阶可降阶的微分方程 252

一、y″＝f（x，y′）型 253

二、y″＝f（y，y′） 253

习题6.4 255

6.5二阶线性常系数微分方程 255

一、二阶线性方程及其解的结构 255

二、二阶线性常系数齐次方程的解法 257

三、特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法 260

四、一般的二阶线性常系数非齐次方程的解法 265

五、欧拉方程 266

习题6.5 267

6.6微分方程的应用 268

一、几何中的应用 268

二、物理等问题中的应用 270

习题6.6 274

综合测试题六 276

第7章 无穷级数 280

7.1常数项级数的概念与性质 280

一、常数项级数的概念 280

二、收敛级数的基本性质 283

三、级数收敛的必要条件 284

习题7.1 285

7.2数项级数的审敛法 286

一、正项级数及其审敛法 286

习题7.2（1） 290

二、交错级数及其审敛法 291

三、绝对收敛与条件收敛 293

习题7.2（2） 294

7.3幂级数 295

一、函数项级数的概念 295

二、幂级数及其收敛性 296

三、幂级数的运算及其性质 298

四、利用幂级数的和函数求数项级数的和 301

习题7.3 302

7.4函数展开成幂级数 303

一、任意阶可导的函数的泰勒级数 303

二、函数展开成幂级数的条件 304

三、初等函数间接展开成幂级数 307

四、幂级数展开式的应用 310

五、欧拉公式 311

习题7.4 312

7.5傅里叶级数 313

一、三角级数及其基本性质 313

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 314

三、只定义在区间［—π，π］上的函数展开成傅里叶级数 317

四、只定义在［0，π］上的函数展开成正弦（或余弦）级数 318

习题7.5 320

7.6一般周期函数的傅里叶级数 322

一、一般周期函数的傅里叶级数 322

二、傅里叶级数的复数形式 324

习题7.6 325

综合测试题七 326

第8章 向量代数与空间解析几何 329

8.1空间直角坐标系 329

一、空间直角坐标系 329

二、点的坐标 330

三、空间两点间的距离公式与中点坐标公式 330

习题8.1 331

8.2向量及其线性运算 332

一、向量的概念 332

二、向量的线性运算 332

习题8.2 335

8.3向量的坐标 335

一、向量的分解与向量的坐标 335

二、向量线性运算的坐标表示法 336

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 337

四、向量在坐标轴上的投影与向量的坐标 338

习题8.3 339

8.4向量的数量积向量积混合积 340

一、两向量的数量积 340

二、两向量的向量积 342

三、向量的混合积 345

习题8.4 347

8.5平面及其方程 348

一、平面的点法式方程 348

二、平面的一般式方程 349

三、平面的截距式方程 351

四、两平面的夹角 351

习题8.5 352

8.6空间直线及其方程 353

一、空间直线的点向式方程与参数式方程 353

二、空间直线的一般式方程 353

三、两直线的夹角 354

四、直线与平面的夹角 355

五、直线与平面的交点 356

习题8.6 356

8.7平面与直线方程的应用 357

一、求投影 357

二、求距离 359

习题8.7 361

8.8曲面及其方程 361

一、曲面方程 361

二、球面 362

三、柱面 363

四、旋转曲面 363

五、二次曲面 365

习题8.8 367

8.9空间曲线及其方程 368

一、空间曲线的一般方程与参数方程 368

二、空间曲线在坐标面上的投影 370

三、一般柱面和旋转曲面的探讨 371

习题8.9 373

8.10柱面坐标与球面坐标 374

一、柱面坐标 374

二、球面坐标 375

习题8.10 377

综合测试题八 378

第9章 多元函数微分学 380

9.1多元函数 380

一、区域 380

二、多元函数的概念 382

三、多元函数的极限 384

四、多元函数的连续性 385

习题9.1 387

9.2偏导数与全微分的概念与基本性质 387

一、偏导数 387

二、高阶偏导数 390

三、全微分 392

四、全微分在近似计算中的应用 395

习题9.2 396

9.3复合函数与隐函数的求导法 397

一、多元复合函数的求导法 397

二、一阶全微分形式不变性 402

三、隐函数的求导法 402

习题9.3 406

9.4多元微分学在几何上的应用 407

一、空间曲线的切线与法平面 407

二、曲面的切平面与法线 409

三、利用微分法求曲线的切向量和平面的法向量 411

习题9.4 411

9.5多元函数的极值及其应用 412

一、二元函数的极值概念及求法 413

二、多元函数的最大值与最小值的应用 415

三、条件极值，拉格朗日乘数法 416

四、二元函数的泰勒公式 419

习题9.5 422

9.6方向导数与梯度 423

一、方向导数 423

二、梯度 425

习题9.6 427

综合测试题九 428

第10章 多重积分 431

10.1多重积分的概念和性质 431

一、二重积分的概念 431

二、二重积分的性质 433

三、三重积分的概念与性质 434

习题10.1 435

10.2二重积分的计算 436

一、利用直角坐标计算二重积分 436

习题10.2（1） 444

二、利用极坐标计算二重积分 445

三、二重积分的一般变量替换 449

习题10.2（2） 450

10.3三重积分的计算 452

一、利用直角坐标计算三重积分 452

习题10.3（1） 456

二、利用柱面坐标计算三重积分 457

三、利用球面坐标计算三重积分 458

四、三重积分的一般变量替换 461

习题10.3（2） 462

10.4重积分的应用 463

一、曲面的面积 464

二、重心 465

三、转动惯量 467

四、引力 468

习题10.4 470

综合测试题十 472

第11章 曲线积分与曲面积分 474

11.1对弧长的曲线积分 474

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 474

二、对弧长的曲线积分的计算 476

三、对弧长的曲线积分的应用 478

习题11.1 479

11.2对坐标的曲线积分 480

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 480

二、对坐标的曲线积分的计算 482

三、对弧长的曲线积分的应用 486

习题11.2 486

11.3格林公式及其应用 488

一、格林公式 488

二、平面上曲线积分与路径无关的条件与二元函数的全微分求积 492

三、全微分方程 495

习题11.3 497

11.4对面积的曲面积分 498

一、对面积的曲面积分的概念与性质 498

二、对面积的曲面积分的计算 500

三、对面积的曲面积分的应用 502

习题11.4 502

11.5对坐标的曲面积分 503

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 503

二、对坐标的曲面积分的计算 506

三、对坐标的曲面积分的应用 510

习题11.5 511

11.6高斯公式和斯托克斯公式 512

一、高斯公式 512

二、斯托克斯公式 513

习题11.6 516

11.7场论初步 518

一、场的概念 518

二、向量场的通量与散度 518

三、向量场的环量与旋度 520

四、向量微分算子与“三度” 521

五、有势场和势函数 522

习题11.7 523

综合测试题十一 524

附录Ⅰ基本函数的图形与特性 527

附录Ⅱ积分表 529

习题、综合测试题参考答案 539