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第一章 空间解析几何初步 1

1．1 空间直角坐标系 1

一、空间点的直角坐标 1

二、空间两点间的距离 2

习题 1．1 3

1．2 向量及其加减法、向量与数的乘法 3

一、向量概念 3

二、向量的加减法 4

三、向量与数的乘法 5

四、向量的坐标 6

习题 1．2 9

1．3 向量的数量积与向量积 10

一、两向量的数量积 10

二、两向量的向量积 11

一、曲面方程的概念 13

1．4 曲面及其方程 13

习题 1．3 13

二、旋转曲面 15

三、柱面 16

四、空间平面及其方程 17

习题 1．4 20

1．5 空间曲线及其方程 20

一、空间曲线的方程 20

二、空间曲线在坐标平面上的投影 21

三、空间直线的方程 22

习题 1．5 24

1．6 二次曲面 25

一、椭球面 25

二、抛物面 26

三、双曲面 27

习题 1．6 28

一、区域 29

第二章 多元函数及其微分学 29

2．1 多元函数的基本概念 29

二、多元函数概念 30

三、二元函数的极限与连续 32

习题 2．1 34

2．2 偏导数 35

一、偏导数的定义及其计算法 35

二、高阶偏导数 37

习题 2．2 39

2．3 全微分 39

习题 2．3 42

2．4 多元复合函数求导法则 43

习题 2．4 46

2．5 隐函数求导法 47

一、一个方程的情形 47

二、方程组的情形 49

一、空间曲线的切线与法平面 51

习题 2．5 51

2．6 微分法在几何上的应用 51

二、曲面的切平面与法线 53

习题 2．6 54

2．7 方向导数与梯度 55

一、方向导数 55

二、梯度 57

习题 2．7 58

2．8 多元函数极值及其应用 59

一、多元函数的极值与最值 59

二、条件极值与拉格朗日乘数法 61

三、最小二乘法 62

习题2．8 64

2．9 综合应用问题 65

一、多变量的经验函数(或称经验公式) 65

二、最大利润问题 66

第三章 二重积分 68

3．1 二重积分的概念与性质 68

一、二重积分的概念 68

二、二重积分的性质 71

3．2 在直角坐标系中二重积分的计算 72

习题 3．2 78

3．3 在极坐标系中二重积分的计算 78

习题 3．3 83

3．4 二重积分综合应用问题 85

一、求平面薄片的质量问题 85

二、求城市人口问题 85

三、求二元函数在区域上的平均值问题 85

第四章 无穷级数 87

4．1 常数项级数的概念 87

一、数项级数的性质 89

4．2 数项级数的基本性质 级数收敛的必要条件 89

习题 4．1 89

二、级数收敛的必要条件 90

习题 4．2 91

4．3 正项级数的审敛法 91

习题 4．3 95

4．4 任意项级数的审敛法 95

习题 4．4 97

4．5 幂级数 98

一、函数项级数的一般概念 98

二、幂级数及其收敛性 99

习题 4．5 101

4．6 幂级数的运算及其性质 102

习题 4．6 103

4．7 函数展开成幂级数 104

一、泰勒(Taylor)级数 104

二、函数展开成幂级数 106

习题 4．7 109

4．8 幂级数的应用 109

一、函数值的近似计算 109

二、求定积分的近似值 110

三、解微分方程 111

习题 4．8 112

4．9 级数的综合应用问题 112

一、药物的长期效水平与用药量问题 112

二、放射性元素衰变与考古问题 113

三、人口与生物量增长问题 114

四、污水处理的环保问题 114

五、投资及投资方案选择 114

六、减免税收刺激经济发展问题 115

第五章 差分及差分方程 117

5．1 差分及其性质 117

习题 5．1 118

5．2 差分方程的基本概念 119

一、描述所观察到的性态变化的差分方程 119

二、基本概念 119

习题 5．2 120

5．3 一阶常系数线性差分方程 121

一、齐次方程yn+1-ayn=0的解法 121

二、非齐次方程yn+1-ayn=f(n)的解法 121

习题 5．3 124

5．4 二阶常系数线性差分方程 125

一、齐次方程yn+2+pyn+1+qyn=0的解法 125

二、非齐次方程yn+2+pyn+1+qyn=anPm(n)的解法 126

习题 5．4 127

5．5 一阶非线性方程及混沌现象 128

习题 5．5 131

习题答案 133

参考书目 146