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第七章 空间解析几何与向量代数 1

7.1 空间直角坐标系 1

7.1.1 空间点的直角坐标 1

7.1.2 两点间的距离 5

习题7.1 6

7.2 向量及其线性运算 7

7.2.1 向量的概念和坐标 7

7.2.2 向量的加减法 11

7.2.3 数与向量的乘法 12

7.2.4 向量线性运算的性质 15

7.3.1 两向量的数量积 20

7.3 向量的数量积 20

习题7.2 20

7.3.2 两向量的夹角公式 23

7.3.3 方向角和方向余弦 25

7.3.4 向量的投影 27

习题7.3 28

7.4 向量的向量积 29

7.4.1 两向量的向量积 29

7.4.2 向量的混合积 33

习题7.4 35

7.5 曲面及其方程 36

7.5.1 球面 38

7.5.2 柱面 40

7.5.3 旋转曲面 43

习题7.5 45

7.6 空间曲线及其方程 46

7.6.1 空间曲线的一般方程 46

7.6.2 空间曲线的参数方程 48

7.6.3 空间曲线在坐标平面内的投影曲线 50

习题7.6 54

7.7 平面 56

7.7.1 平面的点法式方程 56

7.7.2 平面的一般式方程 58

7.7.3 平面的截距式方程 60

7.7.4 两平面的夹角 61

7.7.5 点到平面的距离 63

习题7.5 65

7.8 空间直线 66

7.8.1 空间直线的一般式方程 66

7.8.2 空间直线的对称式方程 67

7.8.3 空间直线的参数式方程 69

7.8.4 两直线的夹角 70

7.8.5 直线与平面的夹角 72

7.8.6 直线与平面的交点 74

7.8.7 平面束 76

习题7.8 78

7.9 二次曲面 80

7.9.1 椭球面 80

7.9.2 椭圆抛物面 82

7.9.3 双曲抛物面 83

7.9.4 单叶双曲面 85

7.9.5 双叶双曲面 86

7.9.6 二次锥面 87

习题7.9 89

复习题七 89

总习题七 90

选读 分形几何：研究复杂现象的数学 92

数学家小传 99

8.1 多元函数的极限与连续 100

8.1.1 平面点集的知识 100

第八章 多元函数微分学 100

8.1.2 多元函数 103

8.1.3 多元函数的极限 107

8.1.4 多元函数的连续性 110

习题8.1 112

8.2 偏导数 113

8.2.1 偏导数的定义与计算 113

8.2.2 高阶偏导数 120

习题8.2 121

8.3 全微分 122

8.3.1 全微分的定义 122

8.3.2 全微分存在的必要条件和充分条件 124

8.3.3 全微在近似计算中的应用 129

习题8.3 131

8.4 多元复合函数微分法 132

8.4.1 链锁法则 132

8.4.2 全微分形式不变性 138

习题8.4 140

8.5 隐函数的微分法 141

8.5.1 一个方程确定的隐函数的情形 141

8.5.2 方程组确定的隐函数的情形 146

习题8.5 151

8.6 多元函数微分法在几何上的应用 153

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 153

8.6.2 空间曲面的切平面与法线 157

8.6.3 全微分的几何意义 161

习题8.6 162

8.7 方向导数的梯度 163

8.7.1 方向导数 163

8.7.2 梯度 168

8.7.3 等值线 等值面与梯度的意义 170

习题8.7 174

8.8 多元函数的极值 175

8.8.1 极值的必要条件 175

8.8.2 极值的充分条件 178

8.8.3 最大值 最小值问题 180

8.8.4 条件极值与拉格朗日乘数法 183

习题8.8 187

8.9 最小二乘法 188

复习题八 192

习题8.9 192

总习题八 194

选读 偏微分在经济分析中的应用 196

数学家小传 199

第九章 数量值函数的积分学 201

9.1 二重积分 201

9.1.1 二重积分的概念与性质 201

9.1.2 二重积分的计算法 208

习题9.1 228

9.2 三重积分 231

9.2.1 三重积分的概念 231

9.2.2 三重积分的计算 233

习题9.2 245

9.3 第一类曲线积分 247

9.3.1 第一类曲线积分的概念和性质 247

9.3.2 第一类曲线积分的计算 249

习题9.2 253

9.4 第一类曲面积分 254

9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质 254

9.4.2 第一类曲面积分的计算 256

习题9.4 259

9.5 数量值函数积分学的应用 260

9.5.1 数量值函数积分学在几何中的应用 261

9.5.2 数量值函数积分学在物理中的应用 268

习题9.5 279

复习题九 281

总习题九 282

选读 数量值函数积分概念的统一与推广 284

数学家小传 289

第十章 向量值函数的积分学 291

10.1 向量值函数的概念与性质 291

10.1.1 一元向量值函数 291

10.1.2 多元向量值函数 296

习题10.1 298

10.2 第二类曲线积分的概念与计算 300

10.2.1 变力沿曲线作功问题 300

10.2.2 第二类曲线积分的定义与性质 302

10.2.3 第二类曲线积分的计算 304

10.2.4 两类曲线积分之间的关系 308

习题10.2 309

10.3 格林公式及其应用 310

10.3.1 格林公式 311

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 316

10.3.3 全微分方程 319

习题10.3 321

10.4 第二类曲面积分的概念与计算 322

10.4.1 有向曲面 322

10.4.2 流过曲面的流量 324

10.4.3 第二类曲面积分的定义与性质 325

10.4.4 第二类曲面积分的计算 328

习题10.4 332

10.5.1 高斯公式 333

10.5 高斯公式与斯托克斯公式 333

10.5.2 斯托克斯公式 338

10.5.3 空间曲线积分与路径无关的条件 343

习题10.5 344

10.6 场论初步 346

10.6.1 梯度场 346

10.6.2 散度场 348

10.6.3 旋度场 350

10.6.4 几种重要的向量场 352

习题10.6 354

复习题十 355

总习题十 356

选读 外微分形式与积分基本公式的统一 359

数学家小传 363

第十一章 无穷级数 365

11.1 常数项级数的概念与性质 365

11.1.1 常数项级数的概念 365

11.1.2 级数的基本性质 369

习题11.1 373

11.2 常数项级数敛散性的判别法 375

11.2.1 正项级数 375

11.2.2 交错级数 387

11.2.3 绝对收敛与条件收敛 389

习题11.2 393

11.3.1 函数项级数 394

11.3 幂级数 394

11.3.2 幂级数的收敛半径 403

11.3.3 幂级数的运算 408

习题11.3 412

11.4 函数展开成幂级数 413

11.4.1 泰勒级数 413

11.4.2 函数展开成幂级数 416

11.4.3 幂级数的应用 423

习题11.4 431

11.5 傅里叶级数 432

11.5.1 三角级数与三角级数系的正交性 433

11.5.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 435

11.5.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 441

习题11.5 444

11.6 正弦级数与余弦级数 445

11.6.1 奇函数和偶函数的傅里叶级数 445

11.6.2 函数展开成正弦级数与余弦级数 447

习题11.6 449

复习题十一 450

总习题十一 451

选读 数学常数π与e探幽 454

数学家小传 457

附录I 高等数学常用数学名词英文注释 459

附录II 二阶和三阶行列式简介 462

习题答案 466

参考文献 496