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第一篇 微积分 1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 1

一、 函数 1

二、 极限的概念与性质 4

三、 极限存在性的判别 5

四、 无穷小及其阶 8

五、 函数的连续性及其判断 10

六、 求极限的方法 14

常考题型归纳及解题方法与技巧 23

题型（一）求反函数 23

题型（二）求复合函数 24

题型（三）利用函数概念求函数表达式 24

题型（四）示0-0型或∞∞型的极限 25

题型（五）求0·∞或∞-∞的极限 27

题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限 29

题型（七）求含变限积分的不定式的极限 30

题型（八）由极限值确定函数式中的参数 31

题型（九）求含参变量的极限 33

题型（十）求无穷多项和与无穷多项积的极限 34

题型（十一）利用函数极限求序列极限 35

题型（十二）无穷小的比较与无穷小的阶的确定 35

题型（十三）讨论函数的连续性与间断点的类型 37

题型（十四）综合题 39

题型训练及参考答案 41

考核知识要点讲解 44

一、 一元函数的导数与微分 44

第二章 导数与微分概念及其计算 44

内容概要与重难点提示 44

二、 基本初等函数导数表与导数四则运算法则 48

三、 复合函数的微分法则 49

四、 由复合函数求导法则导出的微分法则 49

五、 分段函数求导法 52

七、 多元函数的偏导数与全微分 57

题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题 63

常考题型归纳及解题方法与技巧 63

题型（二）用导数定义求某些函数极限 67

题型（三）求一元各类函数的导数与微分 68

题型（五）求一元函数的n阶导数 74

题型（六）一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论 75

题型（七）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分 77

题型（八）有关多元函数的综合题 84

题型训练及参考答案 84

考核知识要点讲解 87

一、 原函数与不定积分的概念及基本性质 87

第三章 一元函数的积分及其计算 87

内容概要与重难点提示 87

二、 定积分的概念与基本性质、基本定理 89

三、 不定积分的计算 92

四、 定积分的计算 106

五、 广义积分 109

六、 二重积分的概念与计算 111

题型（一）有关原函数与定积分概念的命题 114

常考题型归纳及解题方法与技巧 114

题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号 116

题型（三）估计积分值 116

题型（四）求分段函数的原函数 117

题型（五）各类被积函数不定积分的计算 118

题型（六）各类被积函数定积分的计算 121

题型（七）利用若干积分技巧计算积分 123

题型（八）由函数方程求积分 129

题型（九）广义积分的计算 129

题型（十）有关二重积分中对称性与比较定理的应用的命题 131

题型（十一）二重积分的计算 132

题型（十二）关于变限积分的讨论 139

题型（十三）证明题与综合题 141

题型训练及参考答案 148

第四章 几个重要定理及其应用 150

内容概要与重难点提示 150

考核知识要点讲解 150

一、 连续函数的性质 150

二、 微分中值定理和积分中值定理 152

三、 利用导数研究函数的变化 153

四、 微分中值定理的其它应用 159

五、 多元函数极值判别法 159

常考题型归纳及解题方法与技巧 160

题型（一）有关连续函数性质的命题 160

题型（二）用微分学的方法证明不等式 163

题型（三）有关利用导数研究函数性态的命题 168

题型（四）微分中值型的命题及相关问题 173

题型训练及参考答案 178

第五章 微积分学的应用 180

内容概要与重难点提示 180

考核知识要点讲解 180

一、 微分学的几何应用与经济应用 180

二、 定积分的几何应用 183

三、 定积分的简单经济应用 186

四、 一元函数的最大值与最小值问题 187

五、 多元函数的最大值与最小值问题 188

题型（一）导数和定积分的几何应用 190

常考题型归纳及解题方法与技巧 190

题型（二）一元函数的最值问题 193

题型（三）多元函数的最值问题 196

题型（四）综合题 198

题型训练及参考答案 200

第五章 无穷级数 201

内容概要与重难点提示 201

考核知识要点讲解 201

一、 常数项级数的概念与基本性质 201

二、 正项级数敛散性的判定 202

三、 交错级数的敛散性判别法 204

四、 绝对收敛与条件收敛 204

五、 函数项级数的收敛域与和函数 205

六、 幂级数的收敛域 206

七、 幂级数的运算与和函数的性质 207

八、 函数的幂级数展开 208

常考题型归纳及解题方法与技巧 209

题型（一）常数项级数敛散性的判定 209

题型（二）求一般函数项级数的收敛域 217

题型（三）幂级数有关问题的讨论 218

题型（四）常数项级数求和 223

题型（五） 证明题与综合题 224

题型训练及参考答案 227

第七章 常微分方程与差分方程 229

内容概要与重难点提示 229

考核知识要点讲解 229

一、 基本概念 229

二、 一阶微分方程 230

四、 二阶常系数非齐次线性方程 231

三、 二阶常系数齐次线性方程 231

五、 差分的概念及其性质 232

六、 一阶常系数线性差分方程 233

七、 应用问题（后面将通过具体例子讲解） 234

常考题型归纳及解题方法与技巧 234

题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解 234

题型（二）一阶线性方程的求解 235

题型（三）二阶常系数线性方程的求解 237

题型（四）综合题与证明题 239

题型（五）差分与差分方程的求解 242

题型（六）微分方程与差分方程应用问题 243

题型训练及参考答案 245

第二篇 线性代数 248

第一章 行列式 248

内容概要与重难点提示 248

考核知识要点讲解 248

一、 行列式的概念、展开公式及其性质 248

题型（一）有关行列式的概念与性质的命题 252

二、 常考题型归纳及解题方法与技巧 252

题型（二）数字型行列式的计算 255

题型（三）抽象行列式的计算 259

题型（四）含参数行列式的计算 260

题型训练及参考答案 262

第二章 矩阵及其运算 264

内容概要与重难点提示 264

考核知识要点讲解 264

一、矩阵的概念及几类特殊方阵 264

二、矩阵的运算 266

四、 初等变换 267

五、 初等矩阵 267

三、 矩阵可逆的充分必要条件 267

六、 矩阵等价的概念及充分必要条件 268

七、 矩阵方程 268

常考题型归纳及解题方法与技巧 268

题型（一）有关矩阵的概念及运算 268

题型（二）求方阵的幂 270

题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵 273

题型（四）有关初等矩阵的命题 274

题型（五）关于伴随矩阵的命题 275

题型（六）矩阵可逆的计算与证明 276

题型（七） 求解矩阵方程 280

题型训练及参考答案 282

考核知识要点讲解 285

一、 n维向量的概念与运算 285

内容概要与重难点提示 285

第三章 n维向量与向量空间 285

二、 线性组合与线性表出 286

三、 线性相关与线性无关 287

四、 线性相关性与线性表出的关系 288

五、 向量组的秩与矩阵的秩的关系 288

六、 矩阵秩的重要公式 288

常考题型归纳及解题方法与技巧 289

题型（一）线性组合、线性相关的判别 289

题型（二）线性相关与线性无关的证明 293

题型（三）求秩与极大线性无关组 296

题型（四）有关秩的证明 299

题型（五）关于A=0的证明 300

题型训练及参考答案 301

第四章 线性方程组 304

内容概要与重难点提示 304

考核知识要点讲解 304

一、 线性方程组的各种表达形式 304

二、 基础解系的概念及其求法 304

五、 非齐次线性方程组解的结构 305

三、 齐次方程组有非零解的判定 305

四、 非齐次线性方程组有解的判定 305

六、 克莱姆（Cramer）法则 306

常考题型归纳及解题方法与技巧 306

题型（一）线性方程组解的基本概念 306

题型（二）线性方程组的求解 309

题型（三）含有参数的方程组解的讨论 310

题型（四）有关基础解系的证明 312

题型（五）有关线性方程组命题的证明 315

题型训练及参考答案 317

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 320

内容概要与重难点提示 320

考核知识要点讲解 320

一、 矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法 320

二、 相似矩阵的概念与性质 321

三、 矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤 322

常考题型归纳及解题方法与技巧 323

题型（一）求矩阵的特征值和特征向量 323

题型（二）用特征值和特征向量反求矩阵A 327

题型（三）求矩阵A中的参数 329

题型（四）n阶矩阵A能否对角化的判定 331

题型（五）求矩阵A的相似标准形 332

题型（六）求相似时的矩阵P 333

题型（七）相似对角化的应用 335

题型（八）有关实对称矩阵的命题 336

题型（九）有关特征值与特征向量的证明 337

题型训练及参考答案 339

考核知识要点讲解 341

一、 二次型的概念及其标准形 341

第六章 二次型 341

内容概要及参考答案 341

二、 合同矩阵及正定矩阵 342

常考题型归纳及解题方法与技巧 343

题型（一）有关二次型基本概念的命题 343

题型（二）化二次型为标准形 345

题型（三）求解二次型标准形的逆问题 348

题型（六）有关正定性矩阵的综合题 350

题型（五）有关正定性的证明 350

题型训练及参考答案 351

第三篇 概率统计 351

第一章 随机事件与概率 353

内容概要与重难点提示 353

考核知识要点讲解 353

一、 随机事件的关系与运算 353

二、 随机事件的概率 355

三、 条件概率与全概率公式 356

四、 事件的独立性与伯努利公式 358

常考题型归纳及解题方法与技巧 359

题型（一）随机事件间的关系与运算 359

题型（二）有关概率的概念与性质的命题 360

题型（三）利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率 364

题型训练及参考答案 367

考核知识要点讲解 371

一、 随机变量与分布函数 371

内容概要与重难点提示 371

第二章 随机变量的分布与数字特征 371

二、 离散性随机变量与连续型随机变量 372

三、 几个常见分布 373

四、 随机变量函数的分布的求法 376

五、 一维随机变量的数字特征 378

常考题型归纳及解题方法与技巧 379

题型（一）确定随机变量概率分布中的未知参数 379

题型（二）确定随机变量的概率分布 381

题型（三）求随机变量函数的分布 384

题型（四）随机变量数字特征的计算 388

题型（五）综合应用题 390

题型训练及参考答案 394

第三章 二维随机变量的联合分布及其数字特征 398

内容概要与重难点提示 398

考核知识要点讲解 398

一、 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 398

二、 二维离散型随机变量 399

三、 二维连续型随机变量 400

四、 二维随机变量的条件分布 401

五、 两个常见的二维连续型随机变量的分布 402

六、 二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性 403

七、 随机变量的矩 405

八、 二维随机变量函数的分布的求法 405

常考题型归纳及解题方法与技巧 406

题型（一）有关概率分布的计算 406

题型（二）有关分布函数及密度函数的命题 410

题型（三）求两个随机变量函数的分布 413

题型（四）关于数字特征的命题 417

题型（五）应用题与综合题 425

题型训练及参考答案 427

第四章 大数定律和中心极限定理 431

内容概要与重难点提示 431

考核知识要点讲解 431

一、 大数定律 431

二、 中心极限定理 432

常考题型归纳及解题方法与技巧 433

题型（一）有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 433

题型（二）有关中心极限定理的应用的命题 435

题型训练及参考答案 439

内容概要与重难点提示 442

考核知识要点讲解 442

一、 总体、样本、样本的数字特征 442

第五章 数理统计的基本概念 442

二、 统计量及抽样分布 443

常考题型归纳及解题方法与技巧 446

题型训练及参考答案 449

考核知识要点讲解 451

一、 统计估计 451

内容概要与重难点提示 451

第六章 参数估计和假设检验 451

二、 假设检验 454

常考题型归纳及解题方法与技巧 456

题型（一）最大似然估计与矩估计 456

题型（二）点估计的无偏性与有效性 458

题型（三）正态总体期望与方差的区间估计 461

题型（四）正态总体期望与方差的假设检验 462

题型训练及参考答案 464