目 录第八章 多元函数微分法及其应用 1
第一节多元函数的基本概念 1
一、多元函数概念(1) 二、二元函数的极限(5) 三、二元函数的连续性(8) 习题8-1 11
第二节偏导数 12
一、偏导数的定义及其计算法(12) 二、高阶偏导数 16
习题8-2 19
第三节全微分及其应用 20
一、全微分的定义(20) *二、全微分在近似计算中的应用 24
习题8-3 27
第四节多元复合函数的求导法则 28
习题8-4 33
第五节隐函数的求导公式 34
一、一个方程的情形(34)*二、方程组的情形(37)习题8-5 40
第六节偏导数的几何应用 41
一、空间曲线的切线与法平面(41) 二、曲面的切平面与法线 45
习题8-6 48
第七节方向导数与梯度 49
一、方向导数(49)*二、梯度(51)习题8-7 56
第八节多元函数的极值及其求法 56
一、多元函数的极值及最大值、最小值(56)二、条件极值拉格朗日乘数法(62)习题8-8 65
第九节二元函数的泰勒公式 66
一、二元函数的泰勒公式(66) *二、极值充分条件的证明 71
习题8-9 73
*第十节最小二乘法 73
习题8-10 80
第一节二重积分的概念与性质 81
第九章重积分 81
一、二重积分的概念(81)二、二重积分的性质(85)习题9-1 87
第二节二重积分的计算法 88
一、利用直角坐标计算二重积分(88)习题9-2(1)(96)二、利用极坐标计算二重积分(98) 习题9-2(2)(104) *三、二重积分的换元法(106) *习题9-2(3) 111
第三节二重积分的应用 112
一、曲面的面积(113) 二、平面薄片的重心(116) 三、平面薄片的转动惯量(118) 习题9-3 119
第四节三重积分的概念及其计算法 120
习题9-4 124
第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 125
一、利用柱面坐标计算三重积分(125) 二、利用球面坐标计算三重积分(127) 习题9-5 132
*第六节含参变量的积分 133
*习题9-6 140
第一节曲线积分的概念与性质 141
第十章曲线积分与曲面积分 141
一、对弧长的曲线积分的概念(141) 二、对坐标的曲线积分的概念(143)三、曲线积分的性质(146) 习题10-1 147
第二节曲线积分的计算法 148
一、对弧长的曲线积分的计算法(148) 二、对坐标的曲线积分的计算法(152) 三、两类曲线积分之间的联系(157) 习题10-2 159
第三节格林公式及其应用 161
一、格林公式(161) 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 164
三、二元函数的全微分求积(167) 习题10-3 171
第四节曲面积分的概念与性质 173
一、对面积的曲面积分(173) 二、对坐标的曲面积分(174) 三、曲面积分的性质(179) 习题10-4 179
第五节曲面积分的计算法 180
一、对面积的曲面积分的计算法(180) 二、对坐标的曲面积分的计算法(184) 三、两类曲面积分之间的联系(186) 习题10-5 187
*第六节高斯公式通量与散度 189
一、高斯公式(189) 二、 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 193
三、通量与散度(194)*习题10-6 197
*第七节斯托克斯公式环流量与旋度 198
一、斯托克斯公式(198) 二、空间曲线积分与路径无关的条件 202
三、环流量与旋度(203)*习题10-7 206
第十一章无穷级数 207
第一节常数项级数的概念和性质 207
一、常数项级数的概念(207) 二、无穷级数的基本性质(21)三、级数收敛的必要条件(213) *四、柯西审敛原理(214) 习题11-1 215
第二节常数项级数的审敛法 217
一、正项级数及其审敛法(217) 二、交错级数及其审敛法 224
三、绝对收敛与条件收敛(225) 习题11-2 231
*第三节广义积分的审敛法Γ-函数 232
一、广义积分的审敛法(232) 二、Γ′函数(238) *习题11-3 240
第四节幂级数 241
一、函数项级数的一般概念(241) 二、幂级数及其收敛性 242
三、幂级数的运算(247) 习题11-4 250
第五节函数展开成幂级数 251
第六节函数的幂级数展开式的应用 260
一、泰勒级数(251)二、函数展开成幂级数(253) 习题11-5 260
一、近似计算(260)二、欧拉公式(265) 习题11-6 267
*第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 268
一、函数项级数的一致收敛性(268) 二、一致收敛级数的基本性质 272
*习题11-7 277
第八节傅立叶级数 278
一、三角级数三角函数系的正交性(278)二、函数展开成傅立叶级数(281) 习题11-8 289
第九节正弦级数和余弦级数 289
一、奇函数和偶函数的傅立叶级数(289) 二、函数展开成正弦级数或余弦级数(294) 习题11-9 296
第十节周期为2l的周期函数的傅立叶级数 296
习题11-10 300
*第十一节傅立叶级数的复数形式 300
*习题11-11 303
第一节微分方程的基本概念 305
第十二章微分方程 305
习题12-1 310
第二节可分离变量的微分方程 311
习题12-2 318
第三节齐次方程 319
一、齐次方程(319)*二、可化为齐次的方程(323) 习题12-3 325
第四节一阶线性微分方程 326
一、线性方程(326)二、贝努利方程(330) 习题12-4 331
第五节全微分方程 332
习题12-5 335
*第六节欧拉-柯西近似法 336
*习题12-6 339
第七节可降阶的高阶微分方程 340
一、y(n)-f(x)型的微分方程(340) 二、y″=f(x,y′)型的微分方程(342) 三、y″-f(y,y′)型的微分方程(346) 习题12-7 349
第八节高阶线性微分方程及其解的结构 350
一、二阶线性微分方程举例(350)二、线性微分方程的解的结构 353
习题12-8 356
第九节二阶常系数齐次线性微分方程 357
习题12-9 367
第十节二阶常系数非齐次线性微分方程 368
一、f(x)=eλxPm(x)型(369) 二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型(372) 习题12-10 376
*第十一节欧拉方程 377
*习题12-11 379
*第十二节微分方程的幂级数解法举例 379
*习题12-12 384
*第十三节常系数线性微分方程组解法举例 384
*习题12-13 387
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