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第1章 函数与极限 1

1.1　函数 1

1.1.1　数集与邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的表示法 3

1.1.4 函数的特性 4

1.1.5　复合函数　初等函数 6

1.1.6　建立函数关系举例 7

习题1.1 9

1.2　数列的极限 10

1.2.1　数列的概念 10

1.2.2　极限思想概述 11

1.2.3　数列极限的定义 11

习题1.2 14

1.3 函数的极限 14

1.3.1　函数极限的定义 14

1.3.2 函数极限的性质 17

习题1.3 19

1.4　无穷小与无穷大 19

1.4.1　无穷小与无穷大的定义 19

1.4.2　无穷小与无穷大的关系 20

1.4.3　无穷小与函数极限的关系 21

1.4.4　无穷小的性质 21

习题1.4 22

1.5　极限运算法则 23

1.5.1　极限的四则运算法则 23

1.5.2　复合函数的极限运算法则 26

习题1.5 27

1.6　极限存在准则　两个重要极限 28

1.6.1　极限存在准则 28

1.6.2　两个重要极限 30

习题1.6 33

1.7　无穷小的比较 33

习题1.7 36

1.8 函数的连续性和间断点 36

1.8.1　函数连续的概念 36

1.8.2　连续函数的运算性质 38

1.8.3　初等函数的连续性 39

1.8.4　函数的间断点及其分类 40

习题1.8 41

1.9 闭区间上连续函数的性质 42

习题1.9 44

总习题1 44

第2章　导数与微分 46

2.1　导数的概念 46

2.1.1 引例 46

2.1.2　导数的定义 47

2.1.3　按定义求导数举例 49

2.1.4　导数的几何意义 51

2.1.5　可导与连续的关系 51

习题2.1 52

2.2　基本导数公式与函数的求导法则 53

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 53

2.2.2　反函数的求导法则 55

2.2.3　基本导数公式 57

2.2.4　复合函数的求导法则 57

习题2.2 60

2.3 高阶导数 61

2.3.1　高阶导数的概念 61

2.3.2　高阶导数的求法 62

习题2.3 63

2.4　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 64

2.4.1　隐函数的求导方法 64

2.4.2　幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法 65

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 66

习题2.4 67

2.5 函数的微分 68

2.5.1　微分的定义 68

2.5.2　可导与可微的关系 69

2.5.3　微分的几何意义 71

2.5.4　基本微分公式与微分的运算法则 71

2.5.5　微分在近似计算中的应用 73

习题2.5 74

2.6　导数概念在经济学中的应用 75

2.6.1　边际分析 75

2.6.2　弹性分析 77

习题2.6 79

总习题2 80

第3章　微分中值定理及导数的应用 82

3.1　微分中值定理 82

3.1.1　罗尔定理 82

3.1.2　拉格朗日中值定理 84

3.1.3　柯西中值定理 86

习题3.1 87

3.2　罗必达法则 88

3.2.1　0/0型及∞／∞型未定式 88

3.2.2　其他类型未定式 91

习题3.2 92

3.3　泰勒公式 93

3.3.1　泰勒公式 93

3.3.2　几个函数的马克劳林公式 94

习题3.3 96

3.4 函数的单调性和极值 96

3.4.1 函数的单调性判定 96

3.4.2　函数的极值及其求法 98

3.4.3　最大值、最小值 102

习题3.4 104

3.5 曲线的凹凸性与拐点 105

习题3.5 108

3.6 函数图形的描绘 108

3.6.1　曲线的渐近线 108

3.6.2　函数图形的描绘 109

习题3.6 112

3.7　曲率 112

3.7.1　弧微分 112

3.7.2　曲率的定义及计算 113

3.7.3　曲率圆与曲率中心 116

习题3.7 117

3.8　方程的近似解 117

3.8.1　二分法 117

3.8.2　牛顿切线法 119

习题3.8 121

总习题3 121

第4章　不定积分 124

4.1 不定积分的概念与性质 124

4.1.1　原函数与不定积分的概念 124

4.1.2　不定积分的性质 127

4.1.3　基本积分公式 127

习题4.1 130

4.2　换元积分法 131

4.2.1　第一类换元法 131

4.2.2　第二类换元法 136

习题4.2 140

4.3　分部积分法 141

习题4.3 144

4.4　有理函数与三角有理式的积分 145

4.4.1　有理函数的积分 145

4.4.2　三角有理式的积分 148

习题4.4 150

总习题4 150

第5章　定积分 152

5.1　定积分的概念与性质 152

5.1.1　定积分问题举例 152

5.1.2　定积分的定义 154

5.1.3　定积分的几何意义 156

5.1.4　定积分的近似计算 158

5.1.5　定积分的性质 160

习题5.1 164

5.2　微积分基本公式 165

5.2.1　变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 165

5.2.2　积分上限的函数及其导数 166

5.2.3　牛顿—莱布尼茨公式 167

习题5.2 171

5.3　定积分的换元法和分部积分法 172

5.3.1　定积分的换元法 172

5.3.2　定积分的分部积分法 176

习题5.3 178

5.4　反常积分 179

5.4.1　无穷限的反常积分 180

5.4.2　无界函数的反常积分 182

5.4.3　г函数 185

习题5.4 187

总习题5 188

第6章　定积分的应用 190

6.1　定积分的微元法 190

6.2　定积分在几何学上的应用 192

6.2.1　平面图形的面积 192

6.2.2　体积 196

6.2.3　平面曲线的弧长 200

习题6.2 202

6.3　定积分在物理学上的应用 203

6.3.1　变力沿直线所作的功 203

6.3.2　液体的压力 205

习题6.3 207

6.4　定积分在经济学上的应用 207

6.4.1　由总产量变化率求总产量 207

6.4.2 由边际函数求原经济函数 208

习题6.4 209

总习题6 210

附录 212

附录A　几种常见的曲线 212

附录B　积分表 215

部分习题答案与提示 224

参考文献 241