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第六章 多元函数微分学及其应用 1

第一节 预备知识 1

1-1 n维欧氏空间 1

1-2 n维欧氏空间中的点集 3

1-3 矩阵初步 4

习题6-1 8

第二节 多元函数的基本概念 9

2-1 多元函数的概念 9

2-2 多元函数的极限 11

2-3 多元函数的连续性 13

习题6-2 15

第三节 多元数值函数的微分法 17

3-1 偏导数及其计算 17

3-2 全微分及其应用 23

习题6-3(1) 30

3-3 复合函数的求导法则 32

3-4 方向导数和梯度 38

习题6-3(2) 41

3-5 隐函数的求导法则 43

习题6-3(3) 49

第四节 多元向量值函数的微分法 51

4-1 多元向量值函数的导数 51

4-2 向量值函数的导数的几何应用 54

习题6-4 62

第五节 多元函数的泰勒定理、极值 64

5-1 多元函数的泰勒定理 64

5-2 多元函数的极值与最大(小)值 67

5-3 多元函数的条件极值 71

习题6-5 74

第七章 多元数值函数积分及其应用 76

第一节 多元数值函数积分的概念和性质 76

1-1 引例 76

1-2 多元数值函数积分的概念 78

1-3 积分的性质 80

习题7-1 81

第二节 重积分在直角坐标系下的计算法 83

2-1 直角坐标系下二重积分的计算法 83

2-2 直角坐标系下三重积分的计算法 87

习题7-2 90

第三节 重积分的换元法 93

3-1 二重积分的极坐标换元法 93

习题7-3(1) 98

3-2 三重积分的柱面坐标与球面坐标换元法 100

习题7-3(2) 103

3-3 重积分的一般换元法 106

习题7-3(3) 108

第四节 第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算法 109

4-1 第一型曲线积分的计算法 109

4-2 第一型曲面积分的计算法 112

习题7-4 115

第五节 多元数值函数积分的应用 116

5-1 曲面的面积 116

5-2 质心 117

5-3 惯性矩 119

5-4 引力 121

习题7-5 123

第六节 含参变量的积分 124

习题7-6 130

第八章 多元向量值函数积分和场论 132

第一节 场的概念 132

习题8-1 134

第二节 第二型曲面积分与向量场的散度 134

2-1 第二型曲面积分与向量场的通量 134

2-2 第二型曲面积分的计算法 139

习题8-2(1) 141

2-3 高斯公式与散度 142

习题8-2(2) 148

第三节 第二型曲线积分与向量场的旋度 150

3-1 第二型曲线积分与向量场的环流量 150

3-2 第二型曲线积分的计算法 153

习题8-3(1) 155

3-3 格林公式 斯托克斯公式 156

3-4 第二型曲线积分与路径无关的条件 161

习题8-3(2) 167

3-5 向量场的旋度 171

3-6 有势场 管形场 调和场 173

习题8-3(3) 177

第九章 无穷级数 179

第一节 常数项级数 179

1-1 数项级数的概念 179

1-2 无穷级数的性质 183

习题9-1 184

第二节 常数项级数的审敛法 185

2-1 正项级数及其审敛法 185

2-2 交错级数及其审敛法 191

2-3 任意项级数及其审敛法 193

习题9-2 195

第三节 幂级数 197

3-1 函数项级数的一般概念 197

3-2 幂级数及其收敛域 203

3-3 幂级数的代数运算和分析运算性质 206

习题9-3 209

第四节 函数展开成幂级数 210

4-1 泰勒级数 210

4-2 函数展开成幂级数的方法 213

4-3 幂级数的应用 216

习题9-4 220

第五节 傅里叶级数 221

5-1 函数系的正交性 222

5-2 函数展开为傅里叶级数及其收敛性 223

5-3 周期为2l的函数的傅氏级数 228

5-4 非周期函数的傅氏级数 229

5-5 傅氏级数的复数形式 233

习题9-5 236

第十章 常微分方程 239

第一节 常微分方程的基本概念 239

习题10-1 241

第二节 一阶微分方程 242

2-1 可分离变量微分方程与一阶线性微分方程 242

习题10-2(1) 250

2-2 用变量代换解一阶微分方程 252

习题10-2(2) 258

2-3 全微分方程 260

习题10-2(3) 263

第三节 可降阶的高阶微分方程 264

习题10-3 268

第四节 高阶线性微分方程 270

4-1 n阶线性微分方程 270

4-2 常系数齐次线性微分方程 276

4-3 常系数非齐次线性微分方程 278

4-4 欧拉方程 286

4-5 微分方程的线性化 287

习题10-4 288

第五节 微分方程的幂级数解法 290

习题10-5 294

第六节 常系数线性微分方程组 294

6-1 常系数线性微分方程组解的结构 295

6-2 常系数线性微分方程组的解法 296

习题10-6 303

6-3 人造卫星的轨道方程和三个宇宙速度 305

习题答案 310

参考文献 337