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第一章 数学模型概论 1

1．1 模型 2

1．2 数学模型 2

1．3 建立数学模型的一般方法 6

习题 6

第二章 数据处理 7

2．1 插值法 7

2．1．1 概述 7

2．1．2 拉格朗日插值 8

2．1．3 差商与牛顿插值公式 12

2．1．4 差分与等距节点插值公式 15

2．1．5 分段插值法 18

2．1．6 三次样条插值函数 20

2．2 数值微分 24

2．2．1 用差商近似微商 25

2．2．2 用插值函数计算微商 26

2．2．3 用三次样条函数求数值微分 28

2．3 数值积分 30

2．3．1 等距节点求积公式(Newton-Cotes公式) 31

2．3．2 求积公式的代数精度 33

2．3．3 复化求积公式 34

2．3．4 变步长求积方法 37

2．3．5 求积公式的误差 38

2．3．6 龙贝格(Romberg)积分法 39

2．4 最小二乘曲线拟合 41

2．4．1 关联函数的选择和线性化 42

2．4．2 线性最小二乘法 43

2．4．3 非线性最小二乘法 58

习题 61

第三章 代数方程(组)的数值解法 66

3．1 线性方程组的直接解法 66

3．1．1 高斯消去法 66

3．1．2 高斯主元素消去法 69

3．1．3 高斯-约当消去法及矩阵求逆 71

3．1．4 解三对角线方程组和三对角块方程组的追赶法 72

3．1．5 LU分解 76

3．1．6 平方根法 78

3．1．7 病态方程组和病态矩阵 80

3．2 线性方程组的迭代解法 82

3．2．1 雅可比迭代法 82

3．2．2 高斯-赛德尔迭代法 83

3．2．3 基本迭代法的收敛性分析 84

3．2．4 松弛迭代法(SOR迭代法) 87

3．3 非线性方程求根 89

3．3．1 二分法 90

3．3．2 迭代法 91

3．3．3 威格斯坦(Wegstein)法 95

3．3．4 牛顿法 97

3．3．5 弦截法 99

3．3．6 抛物线法(Muller法) 102

3．4．1 高斯-雅可比迭代法 103

3．4 非线性方程组数值解 103

3．4．2 高斯-赛德尔迭代法 104

3．4．3 松弛迭代法 104

3．4．4 威格斯坦法 105

3．4．5 牛顿-拉夫森法 106

习题 108

第四章 常微分方程数值解 112

4．1 引言 112

4．2 初值问题 113

4．2．1 尤拉法(Euler Methods) 113

4．2．2 龙格-库塔法(Runge-Kutta Methods) 121

4．2．3 线性多步法 127

4．2．4 方法的比较 134

4．2．5 一阶联立方程组与高阶方程 134

4．2．6 刚性方程组 136

4．3 边值问题 139

4．3．1 打靶法 139

4．3．2 有限差分法 143

习题 148

第五章 拉普拉斯变换 153

5．1 定义和性质 153

5．1．1 定义 153

5．1．2 拉氏变换的存在条件 153

5．1．3 性质 155

5．2 拉氏逆变换求解方法 162

5．2．1 拉氏逆变换的复反演积分——梅林-傅立叶定理 162

5．2．2 用部分分式法求拉氏逆变换 162

5．2．3 海维塞德(Heaviside)展开式 163

5．2．4 卷积定理 166

5．3 拉氏变换的应用 167

5．3．1 求解常微分方程 167

5．3．2 求解线性差分方程 174

5．3．3 求解差分微分方程 175

习题 177

5．3．4 求解积分方程 177

第六章 场论初步 181

6．1 数量场和向量场 181

6．1．1 数量场 181

6．1．2 向量场 181

6．2 向量的导数 181

6．2．1 向量对于一个纯量的导数 182

6．2．2 向量的求导公式 182

6．2．3 向量的偏导数 183

6．3 数量场的梯度 184

6．3．1 数量场的等值面 184

6．3．2 方向导数 185

6．3．3 数量场的梯度 185

6．3．4 梯度的运算性质 187

6．4 向量场的散度 189

6．4．1 向量场的通量 189

6．4．2 向量场的散度 189

6．4．4 散度的应用——流体的连续性方程 191

6．4．3 散度的运算性质 191

6．4．5 散度定理 192

6．5 向量场的旋度 193

6．5．1 向量场的环量 193

6．5．2 向量场的旋度 194

6．5．3 旋度的运算性质 197

6．5．4 斯托克斯定理 197

6．6 梯度、散度、旋度在柱、球坐标系的表达式 199

6．6．1 球坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式 199

6．6．2 柱坐标系下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式 201

6．7 场论在化工中的应用 202

6．7．1 三种常用的向量场 202

6．7．2 流体运动方程 207

6．7．3 热传导方程 209

习题 209

第七章 偏微分方程与特殊函数 213

7．1 引言 213

7．2 阶偏微分方程分类 214

7．3 典型方程的建立 215

7．3．1 波动方程 215

7．3．2 热传导方程 218

7．3．3 稳态方程 221

7．4 定解条件和定解问题 221

7．4．1 初始条件 221

7．4．2 边界条件 222

7．4．3 定解问题的提法 225

7．5 线性迭加原理 225

7．6 分离变量法 226

7．7 非齐次边界条件的处理 233

7．8 非齐次的泛定方程 236

7．9 特殊函数及其在分离变量法中的应用 239

7．9．1 贝塞尔方程及其解法 239

7．9．2 贝塞尔函数 245

7．9．3 贝塞尔函数化工应用实例 251

7．9．4 勒让德方程及其解法 256

7．9．5 勒让德多项式 258

7．9．6 勒让德函数化工应用实例 261

7．10 拉普拉斯变换法 264

习题 267

第八章 偏微分方程数值解 275

8．1 抛物型方程的差分解法 275

8．1．1 显式格式 276

8．1．2 隐式格式 277

8．1．3 六点格式(Crank-Nicolson法) 278

8．1．4 边界条件 281

8．1．5 联立方程组 283

8．1．6 高阶近似法 288

8．2 双曲型方程差分格式 292

8．3 椭圆型方程的差分解法 293

8．3．1 五点差分格式 293

8．3．2 边界条件的处理 294

8．3．3 不规则边界条件 298

习题 299

第九章 概率论与数理统计 303

9．1 概率论基础 303

9．1．1 随机事件及其概率 303

9．1．2 随机变量及分布函数 303

9．1．3 随机变量的数字特征 312

9．1．4 化工过程应用实例 317

9．2 统计基础 320

9．2．1 总体和样本 320

9．2．2 样本的数字特征 320

9．2．3 统计量 321

9．3 大数定律及中心极限定理 324

9．3．1 切比雪夫不等式 324

9．3．2 大数定律 325

9．3．3 中心极限定理 326

9．4．1 数学期望与方差的点估计 327

9．4 参数估计 327

9．4．2 估计量的评选标准 328

9．4．3 参数的区间估计 330

9．5 假设检验 333

9．5．1 单尾检验与双尾检验 334

9．5．2 关于平均值的检验 335

9．5．3 两个平均值差别的检验 337

9．5．4 关于方差σ~2的检验 340

9．5．5 比较两个总体的方差 341

习题 341

第十章 数据校正技术 344

10．1 绪论 344

10．1．1 化工过程数据校正的意义及其应用范围 344

10．1．2 数据校正技术的发展与近况 344

10．1．3 预备知识 345

10．2．1 稳态过程的数学模型 350

10．2 稳态过程的数据校正 350

10．2．2 线性问题求解 351

10．2．3 化工过程数据的分类 360

第十一章 图论 364

11．1 图的基本概念 364

11．2 图的矩阵表示 366

11．2．1 关联矩阵 366

11．3 赋权图与赋权图中的最短路径 367

11．2．2 邻接矩阵 367

11．4 树 369

11．5 图的运算 372

11．6 有向图 374

习题 376

第十二章 人工智能与专家系统 377

12．1 基本概念 377

12．1．1 人工智能 377

12．1．2 知识 378

12．1．3 专家系统 378

12．2．1 产生式系统的基本结构 379

12．2 知识的表示 379

12．2．2 问题求解过程 380

12．2．3 对产生式系统的应用与评价 382

12．3 知识推理技术 383

12．3．1 深度优先搜索法 383

12．3．2 广度优先搜索法 384

12．3．3 最佳优先搜索 384

第十三章 人工神经网络及应用 385

13．1 人工神经网络介绍 385

13．2 人工神经网络的结构组成 385

13．2．1 神经元数学模型 386

13．2．2 普通BP网络的联接方式 386

13．3 网络的训练与测试 386

13．4 反向传播学习算法(BP) 386

13．5 网络模型建立示例 389

13．5．1 非线性曲线拟合方法 389

13．5．2 人工神经网络建模 391

13．6 人工神经网络与常规曲线拟合方法的区别 393

13．7 人工神经网络模型在过程优化中的应用潜力 393

13．7．1 故障诊断 393

13．7．2 过程模拟 393

13．7．3 人工神经网络模型在系统优化控制中的应用 394

习题 395

第十四章 模糊数学及应用 396

14．1 模糊逻辑推理系统 396

14．1．1 模糊集与隶属度(函数) 396

14．1．2 模糊集合运算 397

14．1．3 命题 397

14．1．4 模糊逻辑与模糊推理 398

14．1．5 去模糊 399

14．2 酵母流加发酵中的模糊控制器 399

14．3 模糊神经网络 403

习题 403

附录一 Γ函数 404

附录 404

附录二 拉普拉斯变换表 406

附录三 向量和矩阵的范数 408

附录四 概率函数分布表 411

程序清单 421

一、拉格朗日插值 421

二、牛顿插值 422

三、分段抛物插值 423

四、三次自然样条函数插值、微商与积分 424

五、复化梯形求积 427

六、复化Simpson求积 428

七、龙贝格求积 430

八、 一元线性及非线性回归 431

九、多元线性回归 436

十、非线性最小二乘法 440

十一、高斯-约当消去法求逆矩阵 447

十二、解三对角线方程组THOMAS法 448

十三、解三对角块方程组THOMAS法 449

十四、LU分解求解线性方程组 453

十五、平方根法求解线性方程组 455

十六、计算矩阵的条件数 456

十七、二分法方程求根 459

十八、威格斯坦(Wegstein)法方程求根 461

十九、牛顿法方程求根 462

二十、弦截法方程求根 464

二十一、抛物线(Muller)法方程求根 465

二十二、松弛迭代解非线性方程组 468

二十三、威格斯坦(Wegstein)法解非线性方程组 470

二十四、牛顿-拉夫森法(Newton-Raphson)解方程组 472

二十五、定步长基尔(Gill)法解一阶常微分方程组初值问题 474

二十六、定步长哈明(Hamming)法解一阶常微分方程组初值问题 476

二十七、变步长龙格-库塔方法求解一阶常微分方程组初值问题 479

二十八、打靶法(SHOOT)解二阶常微分方程初值问题 481

二十九、迭代法求解六点格式(Grank-Nicolson) 487

参考文献 491