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第1章　行列式 1

1.1 本章综述 1

1.2　释疑解难 2

问题1.1 计算排列的逆序数有哪些方法？ 2

问题1.2 大于3阶的行列式能不能按对角线法则展开？ 3

问题1.3　n阶行列式的定义 3

问题1.4 n阶行列式中含特定元素的所有项的求法 3

问题1.5　几种利用定义计算的行列式 3

问题1.6　利用性质计算行列式所要注意的几点 4

问题1.7　余子式和代数余子式的几点说明 5

问题1.8　行列式按行（列）展开定理 6

问题1.9　有关范德蒙行列式的几点应用 7

问题1.10 克莱姆法则求解方程组所要注意的几点 9

题型2　行列式中项的判定 10

题型1　求排列的逆序数 10

1.3　题型归纳 10

题型3　求行列式表示的多项式的最高次数和各项系数 11

题型4 用行列式定义计算行列式 11

题型5　化三角形法和降阶法计算行列式 12

题型6　具备某些特征的行列式的计算 15

题型7　计算较复杂行列式的多种技巧 20

题型8　行列式的相关证明 25

题型9　利用克莱姆法则求解方程组 28

题型10　方程组解的唯一性相关判别 29

1.4　习题解答 30

第2章 矩阵 43

2.1 本章综述 43

2.2　释疑解难 45

问题2.1 矩阵和行列式的区别 45

问题2.2　矩阵运算与行列式运算的区别 45

问题2.4　矩阵的幂和方阵行列式的幂的区别 46

问题2.3　矩阵乘法和数的乘法的区别 46

问题2.5　零矩阵和单位矩阵是否唯一？ 47

问题2.6 如何判断矩阵A可逆？如何求A-1？ 47

问题2.7　逆矩阵运算有哪些常用性质？ 47

问题2.8　对于n阶可逆矩阵A,(AT)-1=(A1)T,(A*)-1=(A-1)*是否成立？ 48

问题2.9　伴随矩阵有哪些常考的性质？ 48

问题2.10 用可逆矩阵A及其行列式怎样表示|A*|,(A*),|(A*)*|？ 48

问题2.11 如何求解矩阵方程？ 48

问题2.12　分块矩阵作乘法怎样运算？ 48

问题2.13　分块对角矩阵的行列式和逆矩阵 49

2.3　题型归纳 49

题型1 矩阵的基本运算 49

题型2　求n阶方阵A的幂Ak 50

题型3　满秩矩阵的逆阵 55

题型4　求解矩阵方程 62

题型5　分块矩阵运算 65

题型6　方阵的行列式 66

题型7　求矩阵中的参数 68

2.4 习题解答 69

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 80

3.1 本章综述 80

3.2 释疑解难 81

问题3.1 矩阵的初等变换和行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及标准形矩阵的关系 81

问题3.2 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r—1阶子式？有没有等于0的r阶子式？ 81

问题3.3　如何判断一个矩阵是否为行阶梯形矩阵？如何求行阶梯形矩阵的秩？ 82

问题3.4　怎样求矩阵的秩？ 82

问题3.5　怎样判断n元齐次线性方程组只有零解或有非零解？ 82

问题3.6　n元非齐次线性方程组Am×nx=b是否恰有k个解？（k是大于1的有限整数） 82

问题3.7　含参数的线性方程组如何解？ 83

问题3.8　矩阵的初等变换与相应的初等矩阵的关系 83

问题3.9　利用矩阵乘积表示方程组的两种方法 83

问题3.11 求一个可逆矩阵的逆矩阵常用什么方法？ 84

问题3.10　如何利用初等变换求可逆矩阵逆阵及解矩阵方程？ 84

3.3　题型归纳 85

题型1 求矩阵的秩和最高阶非零子式 85

题型2　线性方程组解的存在性判别 90

题型3　通过矩阵的初等变换求满秩矩阵的逆矩阵 92

题型4　通过矩阵的初等变换求解矩阵方程 95

题型5　求解一般线性方程组 96

3.4 习题解答 101

第4章 向量组 112

4.1　本章综述 112

4.2　释疑解难 114

问题4.1 向量的运算有哪些？分别遵循什么规律？ 114

问题4.2 区分两种向量乘法 114

问题4.3　矩阵与向量组的关系 114

问题4.5　矩阵乘法与向量组线性表示的关系 115

问题4.4 怎样判断一个向量能否被一组向量线性表示？ 115

问题4.6 向量组线性相关和线性无关的理解 116

问题4.7 若向量组A：α1，α2，…，αm线性相关，是否其中的每一个向量都可以由其余的向量线性表示？ 116

问题4.8 证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？ 117

问题4.9 如果向量组A：α1，α2，…，αm的秩为r，那么其中任意r个向量是否都可以构成它的一个最大线性无关组？ 117

问题4.10　求向量组的最大线性无关向量组有哪些方法？ 117

问题4.11 由向量组A：α1，α2，…，αm生成的向量空间是什么样的？ 118

问题4.12　一般线性方程组有哪些形式？ 118

问题4.13 如何求齐次线性方程组的基础解系？ 119

问题4.14　求非齐次线性方程组通解的一般步骤 120

4.3　题型归纳 120

题型1 向量的概念和运算 120

题型2 向量组线性组合和线性表示 121

题型3　向量组线性相关和线性无关 124

题型4　求向量组的极大无关组及向量组的秩 134

题型6　向量空间 137

题型7　等价向量组 140

题型8　线性方程组解的结构 141

题型9　一般线性方程组求解 144

题型10　含参数线性方程组求解 147

题型11 同解线性方程组求解 153

4.4 习题解答 157

第5章 二次型 168

5.1 本章综述 168

5.2 释疑解难 169

问题5.1 向量的内积是什么？有哪些性质？ 169

问题5.2　施瓦茨不等式怎样证明？ 169

问题5.3　正交向量组和无关向量组有何联系？ 170

问题5.4 何谓正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？ 170

问题5.5　矩阵的特征值和特征向量分别有哪些性质？ 170

问题5.6 如果λ是方阵A的r重特征值，那么方阵A的属于λ的是否一定有r个线性无关的特征向量？ 171

问题5.7　相似矩阵有哪些性质？ 171

问题5.10 如何判断一个二次型f=xTAx是正定的？ 172

问题5.8 判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？ 172

问题5.9 对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使P1AP为对角阵？ 172

问题5.11 化实二次型为标准型的常用方法有哪些？ 173

5.3　题型归纳 173

题型1 向量的内积和正交化 173

题型2　矩阵的特征值与特征向量 175

题型3　已知特征值和特征向量求矩阵 182

题型3　相似矩阵和矩阵对角化 187

题型4　合同矩阵 200

题型5　二次型 201

题型6　正定矩阵和正定二次型 209

5.4 习题解答 210

附录1 课程考试真题（A）及参考答案 223

附录2　课程考试真题（B）及参考答案 228

参考文献 233