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上篇 1

第一章　函数与极限 1

§1.1 学习要求 1

§1.2　重要概念、定理及公式 1

§1.3　典型题型的解题方法及技巧 18

题型1 求函数定义域 18

题型2　判别函数的等价性 19

题型3　利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求解f（x）的表达式 20

题型4 函数奇偶性的判别 20

题型5 求解给定函数的周期或周期性证明 22

题型6　函数f（x）在某区间上单调性的判别 22

题型7 函数有界性的判别 22

题型8　求反函数 23

题型9　求复合函数 24

题型10　求抽象复合函数的定义域 27

题型11 求数列极限 27

题型12　求分式函数的极限 29

题型13　利用变量代换求极限 30

题型14　利用等价无穷小代换求极限 31

题型15 关于需讨论双侧极限的情形 34

题型16 关于第二个重要极限的应用 36

题型17　求分段函数的极限 38

题型18　极限式中常数的确定 39

题型19 关于无穷小量的比较 42

题型20　关于连续性的讨论 43

题型21 求函数的间断点 48

§1.4　考研真题精选 50

附总习题一 58

总习题一答案解析 60

第二章　导数与微分 66

§2.1 学习要求 66

§2.2　重要概念、定理及公式 66

§2.3　典型题型的解题方法及技巧 70

题型1　利用导数定义求极限 70

题型2　利用导数定义求函数在某点处的导数 72

题型3　利用导数定义解函数方程 75

题型4　求复合函数的导数 76

题型5　求隐函数的导数 78

题型7　求分段函数的导数 79

题型6　求幂指函数的导数 79

题型8　求高阶导数 82

题型9 函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 86

§2.4　考研真题精选 87

附总习题二 92

总习题二答案解析 94

第三章　微分中值定理与导数的应用 99

§3.1 学习要求 99

§3.2　重要概念、定理及公式 99

§3.3　典型题型的解题方法及技巧 106

题型1 验证中值定理的正确性 106

题型2　欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=0 108

题型3　欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k(k≠0)或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f′(ξ),…,f(n)（ξ）所构成的代数式 111

题型4 欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ,η（ξ≠η）满足某种关系式 114

题型5 利用导数判别函数单调性的方法证明不等式 116

题型6　利用微分中值定理证明不等式 117

题型7　利用洛必达法则给几类未定式定值 119

题型8 求函数的极值与最值 122

题型9　讨论方程的根 124

题型10　判别函数图形在区间Ⅰ上的凹凸性 127

题型11 求曲线的渐近线，并判别类型 127

题型12　函数作图 128

题型13 函数的性质与函数导数的图形 130

题型14　应用问题 130

§3.4　考研真题精选 132

附总习题三 142

总习题三答案解析 144

§4.2　重要概念、定理及公式 152

第四章　不定积分 152

§4.1 学习要求 152

§4.3　典型题型的解题方法及技巧 156

题型1 和原函数有关的不定积分 156

题型2　利用凑微分法求不定积分 158

题型3 利用变量代换法求不定积分 164

题型4　利用分部积分法求不定积分 169

题型5　利用恒等变形求不定积分 173

题型6　有理函数的不定积分 174

题型7　含根式的不定积分的解法 179

题型8　三角有理式的不定积分 184

题型9　含有反三角函数的不定积分 188

题型10　抽象函数的不定积分 189

§4.4　考研真题精选 190

附总习题四 196

总习题四答案解析 197

第五章　定积分 205

§5.1　学习要求 205

§5.2　重要概念、定理及公式 205

§5.3　典型题型的解题方法及技巧 214

题型1 关于定积分的估值问题 214

题型2 定积分的不等式证明问题 216

题型3　求变限积分的导数 216

题型4　含有变限积分的函数的极限 218

题型5　计算定积分 219

题型6　奇偶函数的定积分的简化计算 220

题型7　分段函数的定积分的计算 221

题型8 函数的表达式中含定积分，求函数 222

题型9　利用换元法证明定积分等式 222

题型10　求无穷限的广义积分 223

题型11 求无界函数的广义积分 224

题型12　广义积分的判敛 225

题型13　求广义积分中的待定常数值 226

§5.4　考研真题精选 227

附总习题五 231

总习题五答案解析 233

第六章　定积分的应用 241

§6.1　学习要求 241

§6.2　重要概念、定理及公式 241

题型1 求平面图形的面积 244

§6.3　典型题型的解题方法及技巧 244

题型2　求旋转体的体积及侧面积 245

题型3　求立体体积 245

题型4　求平面曲线的弧长 246

题型5 求变力沿直线所作的功、引力、液体的静压力 246

§6.4　考研真题精选 249

附总习题六 261

总习题六答案解析 261

第七章　空间解析几何与向量代数 266

§7.1 学习要求 266

§7.2　重要概念、定理及公式 266

题型1 向量的代数运算 274

§7.3　典型题型的解题方法及技巧 274

题型2　求曲面方程 275

题型3 求空间曲线在坐标面上的投影方程 276

题型4　求平面方程 277

题型5　求空间直线方程 278

题型6　综合题 280

§7.4　考研真题精选 281

附总习题七 283

总习题七答案解析 285

第一学期　期末测试试卷（一） 292

第一学期　期末测试试卷（二） 294

测试试卷答案 296

§8.2　重要概念、定理及公式 301

§8.1 学习要求 301

下篇 301

第八章 多元函数微元法及其应用 301

§8.3　典型题型的解题方法及技巧 313

题型1 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题 313

题型2　考查二元函数极限、连续、偏导、可微之间的关系的题型 314

题型3 简单显函数偏导数的计算 315

题型4 多元复合函数偏导数的计算 316

题型5　抽象的复合函数偏导数的计算 317

题型6　二元复合函数高阶偏导数的计算 319

题型7 隐函数偏导数的计算 321

题型8 多元函数全微分的计算 323

题型9 多元函数的极值与最值 324

题型10　求曲线的切线及法平面方程 326

题型12 求函数在某点沿某方向的方向导数 327

题型11 求曲面的切平面及法线方程 327

题型13　求函数在一点的梯度 328

题型14　有关多元微分学的证明题 328

§8.4　考研真题精选 329

附总习题八 338

总习题八答案解析 340

第九章　重积分 347

§9.1 学习要求 347

§9.2　重要概念、定理及公式 347

§9.3　典型题型的解题方法及技巧 355

题型1 有关二重积分概念及性质的命题 355

题型2　二重积分的计算 356

题型3　更换二重积分的积分次序 362

题型4　三重积分的计算 363

题型5　更换三重积分的积分次序 367

题型6　有关二重积分（或二次积分）的证明题 367

题型7 重积分的应用（求曲面面积、质心、转动惯量、引力等） 369

§9.4　考研真题精选 372

附总习题九 377

总习题九答案解析 378

第十章　曲线积分与曲面积分 386

§10.1 学习要求 386

§10.2　重要概念、定理及公式 386

§10.3　典型题型的解题方法及技巧 393

题型1 求对弧长的曲线积分 393

题型2　求对坐标的曲线积分 395

题型3　求对面积的曲面积分 403

题型4　求对坐标的曲面积分 405

题型5 求向量场的散度及旋度 411

§10.4　考研真题精选 416

附总习题十 436

总习题十答案解析 438

第十一章　无穷级数 447

§11.1 学习要求 447

§11.2　重要概念、定理及公式 447

§11.3　典型题型的解题方法及技巧 462

题型1 有关级数概念及性质的命题 462

题型2　正项级数敛散性的判别 463

题型3　任意项级数敛散性的判别 466

题型4　有关数项级数敛散性的证明 470

题型5 求函数项级数的收敛域，求幂级数的收敛域和收敛半径 472

题型6　求函数的幂级数展开式 476

题型7　级数求和 479

题型8 函数的傅里叶级数在某点的收敛性的判别 483

题型9　将函数展开为傅里叶级数 483

§11.4　考研真题精选 487

附总习题十一 499

总习题十一答案解析 501

第十二章　微分方程 512

§12.1 学习要求 512

§12.2　重要概念、定理及公式 512

§12.3　典型题型的解题方法及技巧 516

题型1 可分离变量的微分方程求解 516

题型2　一阶齐次微分方程求解 517

题型3　一阶可化为齐次的微分方程求解 518

题型4 贝努里方程求解 521

题型5　全微分方程求解 522

题型6　可降阶的高阶方程求解 523

题型7 求二阶非齐次常系数线性微分方程的通解 524

题型8　欧拉方程求解 528

题型9　微分方程的应用 530

§12.4　考研真题精选 533

附总习题十二 542

总习题十二答案解析 544

第二学期　期末测试试卷（一） 560

第二学期　期末测试试卷（二） 562

测试试卷答案 564