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第1章 绪论 1

1.1 数学方法概述与作用 1

1.2 微积分所研究的两个基本问题及方法 2

1.3 怎样学习高等数学 5

习题1 5

第2章 函数 6

2.1 函数及其性质 6

2.1.1 函数的概念 6

2.1.2 函数的几种特性 9

2.2 初等函数 9

2.2.1 基本初等函数 9

2.2.2 复合函数 10

2.2.3 初等函数 10

2.3 数学模型方法概述 11

2.3.1 数学模型的概念 11

2.3.2 数学模型的建立过程 11

2.3.3 函数模型的建立 12

2.4 本章小结 13

2.4.1 内容提要 13

2.4.2 疑点解析 14

习题2 15

第3章 极限与连续 16

3.1 极限的概念 16

3.1.1 数列的极限 16

3.1.2 函数的极限 17

3.1.3 极限的性质 20

3.1.4 关于极限概念的说明 20

3.1.5 无穷小量 21

3.1.6 无穷大量 22

3.2 极限的运算 23

3.2.1 极限的运算法则 23

3.2.2 两个重要极限 25

3.2.3 无穷小的比较 27

3.3.1 函数的连续性定义 28

3.3 函数的连续性 28

3.3.2 初等函数的连续性 30

3.3.3 闭区间上连续函数的性质 31

3.4 本章小结 32

3.4.1 内容提要 32

3.4.2 疑点解析 32

习题3 32

4.1.1 两个实例 35

4.1 导数的概念 35

第4章 导数与微分 35

4.1.2 导数的概念 36

4.1.3 可导与连续的关系 39

4.1.4 求导举例 40

4.2 求导法则 41

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 41

4.2.2 复合函数的求导法则 42

4.2.3 反函数的求导法则 44

4.2.4 基本初等函数的求导公式 45

4.2.5 三种常用的求导方法 46

4.2.6 高阶导数 48

4.3 微分 49

4.3.1 微分的概念 49

4.3.2 微分的几何意义 51

4.3.3 微分的运算法则 51

4.3.4 微分在近似计算中的应用 52

4.4.2 疑点解析 54

习题4 54

4.4.1 内容提要 54

4.4 本章小结 54

第5章 导数的应用 57

5.1 微分中值定理 57

5.2 洛必达法则 59

5.3 函数的单调性、极值与最值 62

5.3.1 函数的单调性 62

5.3.2 函数的极值 64

5.3.3 函数的最大值与最小值 66

5.4 函数图形的凸向与拐点 68

5.5 本章小结 72

5.5.1 内容提要 72

5.5.2 疑点解析 72

习题5 73

第6章 不定积分 75

6.1 不定积分的概念及性质 75

6.1.1 不定积分的概念 75

6.1.2 基本积分公式 77

6.1.3 不定积分的性质 77

6.2 不定积分的积分方法 79

6.2.1 第一换元积分法（或称凑微分法） 79

6.2.2 第二换元积分法 82

6.2.3 分部积分法 85

6.2.4 简单有理函数的积分 88

6.3.1 内容提要 91

6.3 本章小结 91

6.3.2 疑点解析 92

习题6 92

第7章 定积分 95

7.1 定积分的概念及性质 95

7.1.1 定积分的实际背景 95

7.1.2 定积分的概念 96

7.1.3 定积分的几何意义 97

7.1.4 定积分的性质 98

7.2 微积分基本公式 100

7.2.1 变上限的定积分 100

7.2.2 微积分基本公式 102

7.3 定积分的计算方法 103

7.3.1 定积分的换元法 103

7.3.2 定积分的分部积分法 105

7.4 无限区间上的广义积分 106

7.5.1 内容提要 108

7.5.2 疑点解析 108

7.5 本章小结 108

习题7 109

第8章 定积分的应用 111

8.1 定积分的几何应用 111

8.1.1 定积分的微元法 111

8.1.2 用定积分求平面图形的面积 112

8.1.3 用定积分求体积 115

8.1.4 平面曲线的弧长 117

8.2 定积分的物理应用举例 119

8.3 本章小结 121

8.3.1 内容提要 121

8.3.2 疑点解析 121

习题8 123

第9章 常微分方程 125

9.1 常微分方程的基本概念 125

9.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 126

9.2.1 可分离变量的微分方程 126

9.2.3 一阶线性微分方程 128

9.2.2 齐次型微分方程 128

9.2.4 可降阶的高阶微分方程 130

9.3 二阶常系数线性微分方程 132

9.3.1 二阶线性微分方程解的结构 132

9.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 133

9.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 134

9.4 微分方程在数学建模中的应用 138

9.5 本章小结 144

9.5.1 内容提要 144

9.5.2 疑点解析 145

习题9 146

第10章 空间解析几何与向量 149

10.1 空间直角坐标系与向量的概念 149

10.1.1 空间直角坐标系 149

10.1.2 向量的概念及其线性运算 150

10.1.3 向量的坐标表示 151

10.2 向量的数量积与向量积 154

10.2.1 向量的数量积 154

10.2.2 向量的向量积 156

10.3 平面与直线 158

10.3.1 平面方程 158

10.3.2 直线方程 162

10.4 曲面与空间曲线 166

10.4.1 曲面方程的概念 166

10.4.2 柱面 167

10.4.3 旋转曲面 168

10.4.4 二次曲面 169

10.4.5 空间曲线及其在坐标面上的投影 170

10.5 本章小结 172

10.5.1 内容提要 172

10.5.2 疑点解析 172

习题10 173

第11章 多元函数微分学 176

11.1 多元函数的概念、极限及连续 176

11.1.1 多元函数 176

11.1.2 二元函数的极限与连续 178

11.2 偏导数 179

11.2.1 偏导数 179

11.2.2 高阶偏导数 181

11.3 全微分 182

11.3.1 全微分的定义 182

11.3.2 全微分在近似计算中的应用 184

11.4 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用 184

11.4.1 复合函数微分法 184

11.4.2 隐函数的微分法 187

11.4.3 偏导数的几何应用 188

11.5 多元函数的极值 191

11.5.1 二元函数的极值 191

11.5.2 多元函数的最大值与最小值 192

11.5.3 条件极值 193

11.6 本章小结 194

11.6.1 内容提要 194

11.6.2 疑点解析 195

习题11 196

第12章 多元函数的积分学 199

12.1 二重积分的概念与计算 199

12.1.1 二重积分的概念与性质 199

12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分 201

12.1.3 在极坐标系下计算二重积分 205

12.2 二重积分应用举例 207

12.3 对坐标的曲线积分 209

12.3.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 209

12.3.2 对坐标的曲线积分的计算 210

12.4 格林公式 213

12.4.1 格林公式 213

12.4.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 213

12.5 本章小结 215

12.5.1 内容提要 215

12.5.2 疑点解析 215

习题12 217

13.1.1 数项级数的概念与性质 220

13.1 数项级数 220

第13章 无穷级数 220

13.1.2 正项级数及其敛散性 222

13.1.3 交错级数及其敛散性 226

13.1.4 绝对收敛与条件收敛 226

13.2 幂级数 227

13.2.1 幂级数的概念 227

13.2.2 幂级数的性质 230

13.2.3 将函数展开成幂级数 231

13.2.4 幂级数的应用 235

13.3 傅里叶级数 237

13.3.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 237

13.3.2 以2ι为周期的函数展开成傅里叶级数 242

13.4 本章小结 243

13.4.1 内容提要 243

13.4.2 疑点解析 244

习题13 246

14.1.1 矩阵的概念 248

第14章 矩阵 248

14.1 矩阵及其运算 248

14.1.2 矩阵的加法 249

14.1.3 数与矩阵的乘法（数乘矩阵） 250

14.1.4 矩阵的乘法 250

14.1.5 矩阵的转置 253

14.2 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 253

14.2.1 矩阵的初等行变换 253

14.2.2 初等矩阵 254

14.2.3 矩阵的秩 255

14.3 方阵的行列式 256

14.3.1 方阵行列式的定义 256

14.3.2 行列式的性质 257

14.3.3 克拉默法则 259

14.4 逆矩阵 261

14.4.1 逆矩阵的概念 261

14.4.2 逆矩阵的性质 261

14.5 矩阵的应用 264

14.6.1 内容提要 266

14.6 本章小结 266

14.6.2 疑点解析 267

习题14 269

第15章 数学实验 272

15.1 作函数图形、求数列或函数的极限的演示与实验 272

15.1.1 实验目的 272

15.1.2 原理与方法 272

15.1.3 内容与步骤 272

15.2 函数的导数的演示与实验 275

15.2.1 实验目的 275

15.2.2 原理与方法 275

15.2.3 内容与步骤 275

15.3 导数应用的演示与实验 278

15.3.1 实验目的 278

15.3.2 原理与方法 278

15.3.3 内容与步骤 278

15.4.1 实验目的 279

15.4 函数积分的演示与实验 279

15.4.2 原理与方法 280

15.4.3 内容与步骤 280

15.5 微分方程的解的演示与实验 282

15.5.1 实验目的 282

15.5.2 原理与方法 282

15.5.3 内容与步骤 282

15.6 多元函数的偏导数和重积分的演示与实验 283

15.6.1 实验目的 283

15.6.2 内容与步骤 283

15.7 级数的和、函数展开成幂级数的演示与实验 286

15.7.1 实验目的 286

15.7.2 内容与步骤 286

15.8 矩阵的基本运算的演示与实验 288

15.8.1 实验目的 288

15.8.2 内容与步骤 288

15.9.2 内容与步骤 291

15.9.1 实验目的 291

15.9 线性方程组的解的演示与实验 291

习题参考答案 294

习题2 294

习题3 294

习题4 295

习题5 297

习题6 298

习题7 300

习题8 300

习题9 301

习题10 302

习题11 304

习题12 306

习题13 307

习题14 308

参考文献 310