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第七章　多元函数微分法及其应用 1

第一节　多元函数的极限及连续性 1

一、平面点集与n维空间 1

二、多元函数概念 2

三、多元函数的极限 5

四、多元函数的连续性 6

第二节　偏导数 8

一、偏导数定义及偏导数求法 8

二、偏导数的几何意义 11

三、高阶偏导数 11

第三节　全微分 13

一、全微分的定义 13

二、可微分条件 13

三、全微分在近似计算中的应用 16

第四节　多元复合函数求导法则 17

一、复合函数的中间变量均为多元函数的情形 18

二、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 19

三、某些中间变量又是复合函数中的自变量的情形 20

四、全微分的形式不变性 21

五、复合函数的高阶偏导数 22

第五节　隐函数求导法 23

一、一个方程的情形 24

二、方程组的情形 26

第六节　偏导数在几何上的应用 30

一、空间曲线的切线与法平面 30

二、空间曲面的切平面与法线 32

第七节　梯度与方向导数 36

一、梯度与场 36

二、方向导数 37

三、等值线与梯度的关系 39

第八节　多元函数的极值 41

一、多元函数的极值与最大值、最小值 41

二、条件极值 43

第八章　重积分 50

第一节　二重积分的概念与性质 50

一、引例 50

二、二重积分定义 51

三、二重积分的性质 52

第二节　二重积分的计算 54

一、直角坐标中计算二重积分 54

二、极坐标中计算二重积分 59

第三节　三重积分 64

一、三重积分定义 64

二、三重积分的计算 65

第四节　重积分的应用 73

一、曲面的面积 73

二、重心 75

三、转动惯量 77

一、对弧长的曲线积分的定义 80

第一节　对弧长的曲线积分 80

第九章　曲线积分与曲面积分 80

二、对弧长的曲线积分的性质 81

三、对弧长的曲线积分的计算 81

四、对弧长的曲线积分的应用 83

第二节　对面积的曲面积分 85

一、对面积的曲面积分的定义 85

二、对面积的曲面积分的性质 86

三、对面积的曲面积分的计算 86

四、对面积的曲面积分的应用 88

第三节　对坐标的曲线积分 89

一、对坐标的曲线积分的定义与性质 90

二、对坐标的曲线积分的计算 91

三、两类曲线积分之间的联系 92

第四节　对坐标的曲面积分 93

一、对坐标的曲面积分的定义与性质 93

二、对坐标的曲面积分的计算 95

三、两类曲面积分之间的联系 96

第五节　Green公式 97

一、Green公式 97

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 99

第六节　Gauss公式 102

一、Gauss公式 103

二、利用Gauss公式计算曲面积分 104

第七节　Stokes公式 105

一、Stokes公式 105

二、散度与旋度 106

第十章　无穷级数 110

第一节　无穷级数的概念与性质 110

一、常数项级数的概念 110

二、级数收敛与发散的定义 111

三、收敛级数的基本性质 113

四、级数收敛的必要条件 115

第二节　正项级数审敛法 116

一、比较审敛法 117

二、比值审敛法 120

三、根值审敛法 120

四、积分审敛法 121

第三节　交错级数 122

一、交错级数 122

二、绝对收敛与条件收敛 123

第四节　幂级数 125

一、函数项级数与幂级数的概念 125

二、幂级数及其收敛性 126

三、幂级数运算 129

第五节　函数展开成为幂级数 131

一、泰勒级数 131

二、函数展开为幂级数 132

第六节　傅立叶级数 135

一、三角级数概念 135

二、将以2π为周期时函数展开成傅立叶级数 136

三、非周期函数的傅立叶级数 139

四、正弦级数与余弦级数 140

五、将以2l为周期的函数展开成傅立叶级数 141

第十一章　微分方程 144

第一节　微分方程的基本概念 144

一、微分方程 144

二、微分方程的解 144

三、函数组的线性相关性 145

第二节　可分离变量的微分方程 146

一、变量分离型微分方程 146

二、齐次方程 147

第三节　一阶线性微分方程 149

一、一阶线性微分方程 149

二、Bernoulli方程 151

第四节　全微分方程 153

一、全微分方程 153

二、积分因子 154

第五节　可降阶的高阶方程 155

一、y(n)=f（x）型 155

二、y″=f（x,y′）型 155

三、y″=f（y,y′）型 156

第六节　线性微分方程解的结构 157

一、二阶线性齐次方程解的结构 157

二、二阶线性非齐次方程解的结构 158

第七节　常系数齐次线性微分方程 159

一、方程（2）有两个不相等的实根 159

二、方程（2）有两个相等的实根 160

三、方程（2）有一对共轭的复根 160

第八节　常系数非齐次线性微分方程 162

一、f(x)=eλxPm(x) 162

二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] 164

答案 166

数学家简介 178