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第一篇 复变函数论 3

第一章 复数与复变函数 3

第一节 复数 3

1.1.1 复数域 3

1.1.2 复平面 4

1.1.3 复数的模与辐角 5

1.1.4 复数的乘幂与方根 7

第二节 复变函数的基本概念 9

1.2.1 区域与若尔当曲线 9

1.2.2 复变函数的概念 11

1.2.3 复变函数的极限与连续性 13

第三节 复球面与无穷远点 14

1.3.1 复球面 14

1.3.2 闭平面上的几个概念 15

习题一 16

第二章 解析函数 19

第一节 解析函数的概念及柯西-黎曼条件 19

2.1.1 导数与微分 19

2.1.2 柯西-黎曼条件 20

2.1.3 解析函数的定义 24

第二节 解析函数与调和函数的关系 25

2.2.1 共轭调和函数的求法 25

2.2.2 共轭调和函数的几何意义 27

第三节 初等解析函数 29

2.3.1 初等单值函数 29

2.3.2 初等多值函数 32

第四节 解析函数在平面场中的应用 40

2.4.1 平面场 40

2.4.2 复位势 41

2.4.3 例 44

习题二 47

第三章 柯西定理 柯西积分 51

第一节 复变积分的概念及其简单性质 51

3.1.1 复变积分的定义及其计算方法 51

3.1.2 复变积分的简单性质 54

第二节 柯西积分定理及其推广 55

3.2.1 柯西积分定理 55

3.2.2 不定积分 56

3.2.3 柯西积分定理推广到复围线的情形 59

第三节 柯西积分公式及其推广 61

3.3.1 柯西积分公式 61

3.3.2 解析函数的无限次可微性 63

3.3.3 模的最大值原理 柯西不等式 刘维尔定理 莫雷拉定理 66

习题三 68

第四章 解析函数的幂级数表示 71

第一节 函数项级数的基本性质 71

4.1.1 数项级数 71

4.1.2 一致收敛的函数项级数 72

第二节 幂级数与解析函数 76

4.2.1 幂级数的敛散性 76

4.2.2 解析函数的幂级数表示 80

4.2.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 84

第三节 洛朗级数 86

4.3.1 洛朗级数的收敛圆环 86

4.3.2 解析函数的洛朗展式 87

4.3.3 洛朗展式举例 89

第四节 单值函数的孤立奇点 92

4.4.1 孤立奇点的三种类型 92

4.4.2 可去奇点 93

4.4.3 极点 95

4.4.4 本性奇点 96

4.4.5 解析函数在无穷远点的性质 96

习题四 99

第五章 留数及其应用 103

第一节 留数 103

5.1.1 留数的定义及留数定理 103

5.1.2 留数的求法 106

5.1.3 无穷远点的留数 109

第二节 利用留数计算实积分 111

5.2.1 ∫2π 0R（cos θ，sin θ）dθ的计算 111

5.2.2 积分路径上无奇点的反常积分∫+∞ -∞∫（x）dx的计算 114

5.2.3 积分路径上有奇点的反常积分的计算 119

5.2.4 杂例 121

5.2.5 多值函数的积分 124

第三节 辐角原理及其应用 128

5.3.1 对数留数 128

5.3.2 辐角原理 129

5.3.3 鲁歇定理 131

习题五 132

第六章 保形变换 136

第一节 解析变换的特性 136

6.1.1 单叶变换 136

6.1.2 解析函数的保角性 137

6.1.3 拉普拉斯算符的变换 141

第二节 分式线性变换 142

6.2.1 几种最简单的保形变换 142

6.2.2 分式线性变换 144

6.2.3 分式线性变换的保交比性 146

6.2.4 分式线性变换的保圆周性 147

6.2.5 分式线性变换的保对称点性 147

6.2.6 分式线性变换的应用 149

第三节 某些初等函数所构成的保形变换 151

6.3.1 幂函数与根式函数 151

6.3.2 指数函数与对数函数 153

6.3.3 茹科夫斯基函数 155

习题六 156

第二篇 数学物理方程 163

第七章 一维波动方程的傅里叶解 163

第一节 一维波动方程——弦振动方程的建立 163

7.1.1 弦振动方程的建立 163

7.1.2 定解条件的提出 165

第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解 168

7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 168

7.2.2 傅里叶解的物理意义 173

第三节 电报方程 176

第四节 非齐次方程的求解 178

习题七 181

第八章 热传导方程的傅里叶解 185

第一节 热传导方程和扩散方程的建立 185

8.1.1 热传导方程的建立 185

8.1.2 扩散方程的建立 187

8.1.3 定解条件的提出 189

第二节 混合问题的傅里叶解 190

第三节 初值问题的傅里叶解 192

8.3.1 傅里叶积分 192

8.3.2 利用傅里叶积分解热传导方程的初值问题 194

8.3.3 傅里叶解的物理意义 196

第四节 一端有界的热传导问题 199

8.4.1 定解问题的解 199

8.4.2 举例 202

8.4.3 齐次化原理 206

习题八 209

第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的傅里叶解 212

第一节 圆的狄利克雷问题 212

9.1.1 定解问题的提法 212

9.1.2 定解问题的傅里叶解法 213

第二节 δ函数 217

9.2.1 δ函数的引入 217

9.2.2 δ函数的性质 218

9.2.3 δ函数的数学理论简介 220

9.2.4 高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质 223

习题九 225

第十章 波动方程的达朗贝尔解 228

第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法 228

10.1.1 达朗贝尔解的推出 228

10.1.2 达朗贝尔解的物理意义 230

10.1.3 举例 231

10.1.4 依赖区间 决定区域和影响区域 233

10.1.5 半无界弦问题 235

第二节 高维波动方程 236

10.2.1 三维波动方程的初值问题 236

10.2.2 降维法 239

10.2.3 解的物理意义 240

第三节 非齐次波动方程 推迟势 243

10.3.1 非齐次波动方程的初值问题 243

10.3.2 非线性方程 245

习题十 246

第十一章 拉普拉斯方程（续） 250

第一节 格林公式 调和函数的基本性质 250

11.1.1 球对称解 250

11.1.2 格林公式 251

11.1.3 调和函数的基本性质 253

第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题 259

11.2.1 边值问题的提法 259

11.2.2 球的狄利克雷问题 259

11.2.3 狄利克雷外问题 263

第三节 格林函数 264

11.3.1 格林函数的定义 264

11.3.2 用电像法作格林函数 267

11.3.3 格林函数的对称性 270

11.3.4 保形变换法 272

第四节 泊松方程 274

11.4.1 泊松方程的导出 274

11.4.2 泊松方程的狄利克雷问题 275

习题十一 276

第十二章 傅里叶变换 278

第一节 傅里叶变换的定义及其基本性质 278

12.1.1 傅里叶变换的定义 278

12.1.2 傅里叶变换的基本性质 279

12.1.3 n维傅里叶变换 281

12.1.4 δ函数的傅里叶变换 282

第二节 用傅里叶变换解数理方程举例 283

第三节 格林函数法（续） 285

12.3.1 方程的基本解 285

12.3.2 齐次方程定解问题的格林函数 291

12.3.3 非定常型非齐次方程的格林函数 298

习题十二 302

第十三章 拉普拉斯变换 304

第一节 拉普拉斯变换的定义和它的逆变换 304

13.1.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 304

13.1.2 拉普拉斯变换的定义 305

13.1.3 拉普拉斯变换的存在定理和反演定理 306

第二节 拉普拉斯变换的基本性质及其应用举例 309

第三节 展开定理 321

13.3.1 展开定理 321

13.3.2 用反演公式解数理方程举例 323

习题十三 328

第十四章 定解问题的适定性 方程的讨论 331

第一节 弦振动方程初值问题的适定性 332

第二节 弦振动方程混合问题的适定性 334

14.2.1 解的存在性 334

14.2.2 能量积分和解的唯一性 336

第三节 狄利克雷问题的适定性 338

14.3.1 解的唯一性 338

14.3.2 解的稳定性 339

第四节 热传导方程混合问题的适定性 340

14.4.1 极值原理 340

14.4.2 解的唯一性 341

14.4.3 解的稳定性 342

第五节 热传导方程初值问题的适定性 343

14.5.1 解的唯一性和稳定性 343

14.5.2 解的存在性 345

第六节 拉普拉斯方程狄利克雷外问题解的唯一性 347

14.6.1 三维空间狄利克雷外问题解的唯一性 347

14.6.2 二维空间狄利克雷外问题解的唯一性 348

第七节 定解问题不适定之例 350

14.7.1 不适定问题举例 350

14.7.2 对不适定问题的研究 352

第八节 三类方程的比较 353

14.8.1 关于定解问题的提法 354

14.8.2 关于解的性质 354

14.8.3 关于时间的反演 356

第九节 二阶线性偏微分方程的分类 358

第十节 线性偏微分方程的叠加原理 361

习题十四 363

第三篇 特殊函数 367

第十五章 勒让德多项式 球函数 367

第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式 367

15.1.1 勒让德微分方程的导出 367

15.1.2 幂级数解和勒让德多项式的定义 369

15.1.3 勒让德多项式的微分表达式——罗德里格斯公式 375

15.1.4 勒让德多项式的施拉夫利积分表达式 375

第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式 377

15.2.1 勒让德多项式的母函数 377

15.2.2 勒让德多项式的递推公式 379

第三节 按勒让德多项式展开 380

15.3.1 勒让德多项式的正交性 381

15.3.2 勒让德多项式的归一性 381

15.3.3 展开定理的叙述 383

第四节 连带勒让德多项式 383

15.4.1 连带勒让德多项式的定义 383

15.4.2 连带勒让德多项式的正交性和归一性 385

第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题 386

15.5.1 利用连带勒让德多项式Pm n（x）得出方程（15.1′）的解 386

15.5.2 确定定解问题（15.1′）和（15.2′）的解 387

习题十五 390

第十六章 贝塞尔函数 柱函数 392

第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数 392

16.1.1 贝塞尔微分方程的导出 392

16.1.2 幂级数解和贝塞尔函数的定义 393

第二节 贝塞尔函数的母函数及其递推公式 397

16.2.1 贝塞尔函数的母函数 397

16.2.2 贝塞尔函数的积分表达式 398

16.2.3 贝塞尔函数的递推公式 399

16.2.4 半奇数阶贝塞尔函数 400

第三节 按贝塞尔函数展开 402

16.3.1 贝塞尔函数的零点 403

16.3.2 贝塞尔函数的正交性 403

16.3.3 贝塞尔函数的归一性 404

16.3.4 展开定理的叙述 405

16.3.5 圆膜振动问题 405

第四节 第二类和第三类贝塞尔函数 408

16.4.1 第二类贝塞尔函数 408

16.4.2 第三类贝塞尔函数 410

16.4.3 球贝塞尔函数 411

第五节 变形（或虚变量）贝塞尔函数和贝塞尔函数的渐近公式 413

16.5.1 变形贝塞尔函数 413

16.5.2 贝塞尔函数的渐近公式 416

16.5.3 可以化为贝塞尔方程的微分方程 418

习题十六 423

第十七章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 426

第一节 埃尔米特多项式 426

17.1.1 埃尔米特微分方程的导出 426

17.1.2 幂级数解和埃尔米特多项式的定义 427

17.1.3 埃尔米特多项式的母函数 429

17.1.4 埃尔米特多项式的正交性和归一性 429

第二节 拉盖尔多项式 431

17.2.1 拉盖尔微分方程的导出 431

17.2.2 幂级数解和拉盖尔多项式的定义 431

17.2.3 拉盖尔多项式的母函数 433

17.2.4 拉盖尔多项式的正交性和归一性 434

第三节 特征值和特征函数 435

17.3.1 特征值和特征函数的概念 435

17.3.2 特征值和特征函数的性质 436

17.3.3 施图姆-刘维尔型微分方程边值问题的例子 437

习题十七 439

附录（Ⅰ） 440

傅里叶变换表 440

拉普拉斯变换表 441

附录（Ⅱ） 445

小波变换简介 445

习题答案 449

外国人名表 465