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第一章 极限与连续 1

第一节 初等函数 分段函数 1

一、区间与邻域 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 3

四、反函数 4

五、基本初等函数及图像和性质 5

六、复合函数 9

七、初等函数 9

八、分段函数 9

第二节 函数的极限 11

一、数列的极限 11

二、函数的极限 12

第三节 极限的四则运算法则 16

第四节 两个重要极限 18

一、极限存在准则 18

二、两个重要极限 19

第五节 无穷大与无穷小 20

一、无穷小 21

二、无穷大 21

三、无穷小的比较 22

第六节 函数的连续性与间断点 24

一、函数的连续与间断的概念 24

二、连续函数的运算与初等函数的连续性 26

三、闭区间上连续函数的性质 27

第一章综合练习 29

第二章 导数与微分 31

第一节 函数的变化率、导数的概念 31

一、导数的定义 31

二、求导举例 34

三、导数的几何意义 35

四、函数可导性与连续性的关系 36

第二节 初等函数的微分法 37

一、导数的四则运算法则 37

二、反函数的求导法则 38

三、复合函数求导法则 39

第三节 高阶导数 41

第四节 隐函数及参变量函数的导数 42

一、隐函数的求导方法 42

二、参变量函数的求导方法 43

第五节 微分及其简单应用 44

一、微分的概念 44

二、微分的几何意义 46

三、微分基本公式与运算法则 46

四、微分在近似计算中的应用 48

第二章综合练习 49

第三章 导数的应用 51

第一节 中值定理 51

第二节 未定式的极限(洛必达法则) 54

一、？型未定式的极限 54

二、？型未定式的极限 56

三、其他类型未定式的极限 57

第三节 函数的单调性与极值 60

一、函数单调性的判定 60

二、函数的极值及其求法 63

三、函数的最大值和最小值 66

第四节 曲线的凹凸及拐点 渐近线 函数作图 69

一、曲线的凹凸及拐点 70

二、渐近线 71

三、函数作图 73

第五节 曲率 76

一、曲率的概念 76

二、曲率半径 曲率圆 79

第三章综合练习 80

第四章 不定积分 82

第一节 不定积分的概念与性质 82

一、原函数 82

二、不定积分 83

三、不定积分的性质 84

四、基本积分公式 85

第二节 换元积分法 88

一、第一类换元积分法(凑微分法) 88

二、第二类换元积分法 94

第三节 分部积分法 100

第四章综合练习 104

第五章 定积分 106

第一节 定积分的概念和性质 106

一、引例 106

二、定积分的概念 109

三、定积分的性质 111

第二节 微积分基本公式 113

一、变上限定积分函数及其导数 113

二、积分中值定理 116

三、牛顿-莱布尼兹公式 116

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 120

一、定积分的换元积分法 120

二、定积分的分部积分法 122

第四节 广义积分 124

一、无穷区间上的广义积分 124

二、无界函数的广义积分 126

第五章综合练习 129

第六章 定积分的应用 131

第一节 定积分的微元法 131

第二节 平面图形的面积 132

第三节 旋转体的体积 136

第四节 平面曲线的弧长 139

一、直角坐标情形 139

二、参数方程情形 140

第五节 定积分的物理应用 141

一、变力作功 141

二、液体的侧压力 143

第六节 平均值 145

第六章综合练习 147

第七章 无穷级数 149

第一节 数项级数的概念和性质 149

一、数项级数及其敛散性 149

二、级数收敛的必要条件 151

第二节 正项级数 152

一、正项级数收敛的条件 152

二、正项级数收敛的判别法 153

第三节 任意项级数 157

一、交错级数 157

二、绝对收敛与条件收敛 159

第四节 函数项级数 160

一、函数项级数的概念 160

二、幂级数及其收敛性 161

三、幂级数的运算 164

第五节 函数的幂级数展开 166

一、麦克劳林级数 166

二、函数直接展开成幂级数 168

三、间接展开法 170

四、函数的幂级数展开式的应用 172

第六节 傅立叶级数 174

一、三角级数、三角函数系的正交性 174

二、函数展开成傅立叶级数 175

第七节 正弦级数和余弦级数 181

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 181

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 182

第八节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 184

第七章综合练习 186

第八章 微分方程 187

第一节 微分方程的基本概念 187

一、实例 187

二、微分方程的基本概念 188

第二节 一阶微分方程 190

一、可分离变量的一阶微分方程 190

二、齐次方程 192

三、一阶线性微分方程 194

四、贝努利(Bernoulli)方程 197

第三节 可降阶的高阶微分方程 199

一、y(n)=f(x)型微分方程 199

二、y"=f(x,y')型微分方程 199

三、y"=f(y,y')型微分方程 200

第四节 二阶线性微分方程通解结构 202

一、二阶线性齐次微分方程的解的结构 202

二、二阶线性非齐次微分方程的解的结构 203

第五节 二阶常系数线性微分方程的解法 204

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 205

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 207

第八章综合练习 211

第九章 向量代数与空间解析几何 213

第一节 空间直角坐标系 213

一、空间直角坐标系 213

二、空间两点的距离 214

第二节 向量 216

一、向量的概念 216

二、向量的线性运算 216

三、向量的坐标 218

第三节 数量积 向量积 221

一、向量的数量积 221

二、向量的向量积 223

第四节 平面及其方程 226

一、平面的点法式方程 226

二、平面的一般方程 226

三、两平面的夹角 227

第五节 空间直线及其方程 229

一、空间直线的点向式方程和参数方程 229

二、空间直线的一般方程 230

三、两直线的夹角 231

第六节 曲面和空间曲线 231

一、曲面及其方程 231

二、空间曲线及其方程 235

三、二次曲面 236

第九章综合练习 239

第十章 多元函数微分法 241

第一节 多元函数的概念 241

一、多元函数的定义 241

二、二元函数的几何意义 243

三、二元函数的极限 243

四、二元函数的连续性 244

第二节 偏导数 245

一、偏导数的概念 245

二、偏导数的求法 246

三、高阶偏导数 248

第三节 全微分的概念 250

一、全微分的定义 250

二、全微分在近似计算上的应用 251

第四节 多元复合函数与多元隐函数微分法 252

一、多元复合函数求导法则 252

二、多元隐函数求导公式 255

第五节 偏导数的几何应用 256

一、空间曲线的切线与法平面 256

二、曲面的切平面与法线 258

第六节 多元函数的极值 260

一、多元函数的极值 260

二、多元函数的最大、最小值问题 261

三、条件极值 262

第十章综合练习 263

第十一章 重积分与曲线积分 265

第一节 二重积分的概念与性质 265

一、二重积分的概念 265

二、二重积分的性质 267

第二节 二重积分的计算法 269

一、二重积分在直角坐标系中的计算方法 269

二、二重积分在极坐标系中的计算方法 274

第三节 曲线积分的概念与计算 278

一、对弧长的曲线积分的概念与计算 279

二、对坐标的曲线积分的概念与计算 281

三、格林公式，对坐标的曲线积分与路径无关的条件 285

第十一章综合练习 290

附录 291

习题答案 309