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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合及其运算 1

二、函数的概念 4

三、函数的几种简单特性 9

四、反函数与复合函数 13

五、初等函数 15

习题1-1 15

第二节 数列的极限 18

一、数列极限的概念 18

二、收敛数列的性质 21

三、数列极限概念的进一步讨论 23

习题1-2 25

第三节 函数的极限 26

一、函数极限的概念 26

二、函数极限的性质 32

三、函数极限概念的进一步讨论 33

习题1-3 35

第四节 极限的运算法则 36

一、无穷小量与无穷大量 37

二、极限的四则运算法则 39

三、复合函数的极限运算法则 43

习题1-4 45

第五节 极限存在准则与重要极限 46

一、准则Ⅰ与lim x→0 sinx/x=1 46

二、准则Ⅱ与lim x→0 (1+1/x)x=e 49

习题1-5 54

第六节 无穷小的比较 56

一、无穷小的比较 56

二、等价无穷小的应用 58

习题1-6 60

第七节 函数的连续性 61

一、函数连续的概念 61

二、函数的间断点 64

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 66

习题1-7 69

第八节 闭区间上连续函数的性质 71

一、有界性与最大值最小值定理 71

二、零点定理与介值定理 72

习题1-8 74

第二章 导数与微分 75

第一节 导数的概念 75

一、导数概念的引出 75

二、导数的定义 77

三、求导数举例 79

四、单侧导数 80

五、可导与连续的关系 81

习题2-1 82

第二节 求导法则 83

一、导数的四则运算法则 83

二、反函数与复合函数的求导法则 86

三、基本求导法则与导数公式 91

四、高阶导数 92

习题2-2 95

第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 97

一、隐函数的导数 97

二、由参数方程所确定的函数的导数 99

三、对数求导法 102

四、相关变化率 103

习题2-3 104

第四节 微分及其应用 105

一、微分的概念 105

二、微分的几何意义 108

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 108

四、微分的应用 112

习题2-4 115

第三章 微分中值定理与导数的应用 118

第一节 微分中值定理 118

一、罗尔定理 118

二、拉格朗日中值定理 120

三、柯西中值定理 121

四、洛必达法则 122

习题3-1 127

第二节 导数的应用 129

一、函数的单调性 129

二、函数的极值 133

三、函数的最大值、最小值 137

习题3-2 141

第三节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 143

一、曲线的凹凸性与拐点 143

二、函数图形的描绘 146

习题3-3 149

第四节 曲率 150

一、弧微分 150

二、曲率及其计算公式 151

三、曲率圆与曲率半径 154

习题3-4 156

第五节 方程的近似解 156

习题3-5 159

第四章 不定积分 160

第一节 不定积分的概念与性质 160

一、原函数与不定积分的概念 160

二、基本积分表 164

三、不定积分的性质 166

习题4-1 169

第二节 换元积分法 170

一、第一类换元法 171

二、第二类换元法 179

习题4-2 184

第三节 分部积分法 186

习题4-3 190

第五章 定积分及其应用 192

第一节 定积分的概念与性质 192

一、引例 192

二、定积分的定义 194

三、定积分的性质 199

习题5-1 202

第二节 微积分基本公式 203

一、积分上限的函数及其导数 204

二、牛顿-莱布尼兹公式 206

习题5-2 210

第三节 定积分的换元法与分部积分法 212

一、定积分的换元法 212

二、定积分的分部积分法 217

习题5-3 221

第四节 广义积分 223

一、无穷限的广义积分 223

二、无界函数的广义积分 225

习题5-4 227

第五节 定积分在几何问题中的应用举例 228

一、定积分的元素法 228

二、平面图形的面积 229

三、体积 234

四、平面曲线的弧长 237

习题5-5 240

第六节 定积分在物理学中的应用举例 242

一、变力沿直线所作的功 242

二、水压力 244

三、引力 245

习题5-6 246

第六章 常微分方程 248

第一节 微分方程的基本概念 248

习题6-1 251

第二节 可分离变量的微分方程与齐次方程 252

一、可分离变量的微分方程 252

二、齐次方程 258

习题6-2 261

第三节 一阶线性微分方程 263

习题6-3 269

第四节 可降价的高阶微分方程 270

一、y(n)=f（x）型的微分方程 270

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 272

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 273

习题6-4 274

第五节 二阶线性微分方程 275

一、二阶线性微分方程举例 275

二、二阶线性微分方程解的结构 277

习题6-5 279

第六节 二阶常系数线性微分方程 280

一、二阶常系数齐次线性微分方程 280

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 287

习题6-6 291

附录Ⅰ 基本初等函数的图形及其主要性质 294

附录Ⅱ 几种常用的曲线 297

习题答案 299