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第一篇 一元函数微分学 3

第1章 函数、极限与连续 3

1.1 函数 3

1.1.1 集合、区间及邻域 3

1.1.2 函数 5

1.1.3 反函数 9

1.1.4 初等函数 10

习题1.1 16

1.2 数列的极限 18

习题1.2 23

1.3 函数的极限 24

1.3.1 自变量趋于无穷时函数的极限 24

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 25

1.3.3 函数极限的性质 28

习题1.3 30

1.4 极限运算法则 30

1.4.1 无穷小与无穷大 31

1.4.2 极限运算法则 33

习题1.4 37

1.5 极限存在准则与两个重要极限 38

1.5.1 夹逼准则 39

1.5.2 单调有界收敛准则 41

1.5.3 柯西收敛准则 44

习题1.5 44

1.6 无穷小的比较 45

习题1.6 49

1.7 连续函数 50

1.7.1 函数的连续性 50

1.7.2 函数的间断点 52

1.7.3 连续函数的运算 54

1.7.4 闭区间上连续函数的性质 56

习题1.7 59

总习题一 60

本章数学实验 62

第2章 导数与微分 65

2.1 导数的概念 65

2.1.1 导数的定义 65

2.1.2 求导数举例 67

2.1.3 导数的几何意义 69

2.1.4 可导与连续的关系 70

习题2.1 71

2.2 求导数的运算法则 72

2.2.1 求导数的四则运算法则 72

2.2.2 复合函数的求导公式 74

2.2.3 反函数的求导法则 77

2.2.4 初等函数的求导问题 79

2.2.5 高阶导数 81

2.2.6 隐函数求导法 85

2.2.7 由参数方程确定的函数求导法则 87

2.2.8 相关变化率问题 90

习题2.2 90

2.3 微分 93

2.3.1 微分的定义 93

2.3.2 可微与可导的关系，微分的几何意义 93

2.3.3 微分的运算法则 95

2.3.4 微分在近似计算中的应用 96

习题2.3 97

总习题二 98

本章数学实验 100

第3章 微分中值定理与导数应用 103

3.1 微分中值定理 103

3.1.1 函数的极值及其必要条件 103

3.1.2 微分中值定理 104

习题3.1 110

3.2 洛必达法则 111

习题3.2 116

3.3 泰勒公式 117

3.3.1 泰勒定理 117

3.3.2 几个常用的麦克劳林公式 121

习题3.3 123

3.4 函数性态的研究 124

3.4.1 函数的单调性 124

3.4.2 函数的极值 127

3.4.3 函数的最大（小）值 131

3.4.4 函数的凹凸性 133

3.4.5 函数图形的渐近线 136

3.4.6 利用导数作函数的图形 137

习题3.4 139

3.5 曲率与曲率圆 141

3.5.1 弧微分 141

3.5.2 平面曲线的曲率 142

3.5.3 曲率圆与曲率半径 144

习题3.5 145

总习题三 145

本章数学实验 147

第二篇 一元函数积分学 151

第4章 不定积分 151

4.1 原函数与不定积分的概念 151

4.1.1 原函数与不定积分 151

4.1.2 基本积分表 154

4.1.3 不定积分的线性性质 155

习题4.1 157

4.2 换元积分法 157

4.2.1 第一类换元法 157

4.2.2 第二类换元法 163

习题4.2 166

4.3 分部积分法 167

习题4.3 173

4.4 特殊函数的不定积分 173

4.4.1 有理函数的积分 173

4.4.2 三角函数有理式的积分 176

4.4.3 简单无理函数的积分 177

4.4.4 一些不能用初等函数表示的积分 179

习题4.4 179

总习题四 180

本章数学实验 181

第5章 定积分 183

5.1 定积分概念 183

5.1.1 引出定积分概念的典型例题 183

5.1.2 定积分定义 185

5.1.3 定积分存在的充分条件 186

习题5.1 187

5.2 定积分的性质 187

习题5.2 190

5.3 定积分与原函数的关系 微积分基本定理 191

5.3.1 积分上限的函数及其导数 191

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 194

习题5.3 195

5.4 定积分的换元法 196

习题5.4 200

5.5 定积分的分部积分法 201

习题5.5 203

5.6 反常积分 Γ函数 203

5.6.1 无穷区间上的反常积分 203

5.6.2 无界函数的反常积分 204

5.6.3 Γ函数 206

习题5.6 207

总习题五 208

本章数学实验 209

第6章 定积分的应用 212

6.1 定积分的微元法 212

6.2 定积分的几何应用 213

6.2.1 平面图形的面积 213

6.2.2 体积 216

习题6.2 220

6.3 定积分的物理应用 221

6.3.1 变力沿直线做的功 221

6.3.2 液体的压力 223

习题6.3 224

6.4 平均值 225

习题6.4 226

总习题六 226

本章数学实验 227

第三篇 空间解析几何初步 233

第7章 向量代数与空间解析几何初步 233

7.1 向量及其线性运算 233

7.1.1 向量的基本概念 233

7.1.2 向量的加法与减法 234

7.1.3 向量与数量的乘积 235

习题7.1 237

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标 237

7.2.1 空间直角坐标系 237

7.2.2 向量的坐标 238

7.2.3 向量加减法及数乘运算的坐标表示 241

7.2.4 向量的模与方向余弦的坐标表示 242

习题7.2 243

7.3 数量积 向量积 混合积 244

7.3.1 向量的数量积 244

7.3.2 向量的向量积 247

7.3.3 向量的混合积 250

习题7.3 251

7.4 平面及其方程 252

7.4.1 平面方程 252

7.4.2 两平面的位置关系 255

7.4.3 点到平面的距离 256

习题7.4 257

7.5 空间直线及其方程 257

7.5.1 空间直线的方程 257

7.5.2 两直线的位置关系 260

7.5.3 直线与平面的位置关系 261

习题7.5 262

7.6 空间曲面与空间曲线简介 263

7.6.1 空间曲面及其方程 264

7.6.2 柱面 265

7.6.3 旋转曲面 267

7.6.4 空间曲线及其方程 270

7.6.5 空间曲线在坐标面上的投影 273

7.6.6 曲面的参数方程 274

7.6.7 锥面 275

习题7.6 276

7.7 二次曲面 277

7.7.1 椭球面 277

7.7.2 双曲面 279

7.7.3 抛物面 281

习题7.7 283

总习题七 284

参考文献 286

附录A 几种常用的曲线 287

附录B Mathematica简介 290