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第一章 函数 1

第一节 函数的概念 1

一、常量与变量 1

二、函数的定义 1

三、函数的表示方法 4

四、单值函数与多值函数 5

五、反函数与复合函数 6

习题1-1 6

第二节 具有某些特性的函数 7

一、奇函数与偶函数 7

二、周期函数 8

三、单调函数 9

四、有界集、有界函数、无界函数 9

习题1-2 10

第三节 初等函数 11

一、基本初等函数 11

二、初等函数 13

三、双曲函数与反双曲函数 14

习题1-3 14

第四节 建立函数关系 15

习题1-4 16

第二章 极限与连续 18

第一节 数列的极限 18

一、数列极限 18

二、收敛数列的性质 19

习题2-1 20

第二节 函数的极限 20

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 20

二、自变量趋于有限值x0时函数的极限 21

三、函数极限的若干定理 23

习题2-2 25

第三节 极限存在准则与两个重要极限 25

一、极限存在准则 25

二、两个重要极限 26

习题2-3 28

第四节 无穷大量与无穷小量 29

一、无穷大量 29

二、无穷小量 30

三、无穷小量的比较 31

习题2-4 34

第五节 函数的连续性与间断点 35

一、连续的定义 35

二、间断点及其分类 36

习题2-5 38

第六节 连续函数的性质 39

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 39

二、反函数及复合函数的连续性 39

三、初等函数的连续性 40

四、闭区间上连续函数的性质 41

习题2-6 44

第三章 导数与微分 45

第一节 导数的概念 45

一、概念的引入 45

二、导数的定义 46

三、导数的几何意义 48

四、可导与连续的关系 49

习题3-1 50

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 50

习题3-2 52

第三节 复合函数与反函数的求导法则 53

一、复合函数的求导法则 53

二、反函数求导法则 54

习题3-3 55

第四节 隐函数的导数对数求导法参数方程求导 56

一、隐函数的导数 56

二、对数求导法 57

三、参数方程求导法 58

习题3-4 59

第五节 初等函数、双曲函数与反双曲函数的导数 60

一、基本求导法则 60

二、基本初等函数的导数公式 60

三、双曲函数与反双曲函数的导数 60

习题3-5 61

第六节 高阶导数 61

习题3-6 64

第七节 微分 64

一、微分的概念 65

二、微分的几何意义 66

三、微分的运算法则与公式 66

习题3-7 67

第八节 微分在近似计算中的应用 68

一、函数增量的近似值 68

二、误差分析 69

习题3-8 70

第四章 中值定理与导数的应用 71

第一节 微分中值定理洛必达法则 71

一、微分中值定理 71

二、洛必达法则 73

习题4-1 76

第二节 函数的单调性及其极值 77

一、函数单调性的判定法 77

二、函数的极值及其求法 80

习题4-2 82

第三节 函数的最大值和最小值 83

一、函数在闭区间上的最值问题 83

二、应用问题中的最大值与最小值 85

习题4-3 86

第四节 曲线的凹凸性与拐点 87

习题4-4 89

第五节 函数图形的描绘 90

一、渐近线的概念 90

二、几个常用的记号 90

三、函数作图的主要步骤 90

习题4-5 93

第六节 曲率 94

一、弧微分 94

二、曲率的计算公式 94

三、曲率半径、曲率中心、曲率圆的概念 97

习题4-6 97

第七节 微分学在经济中的应用 97

一、经济学中的常用函数 97

二、边际与弹性 99

习题4-7 101

第五章 不定积分 102

第一节 不定积分的概念与性质 102

一、原函数与不定积分的概念 102

二、不定积分的几何意义 103

三、不定积分的基本性质 104

四、基本积分公式 104

习题5-1 106

第二节 换元积分法 107

一、第一类换元法（凑微分法） 107

二、第二类换元积分法 110

习题5-2 114

第三节 分部积分法 114

习题5-3 117

第六章 定积分 118

第一节 定积分的概念与性质 118

一、引例 118

二、定积分的定义 120

三、定积分的几何意义 121

四、定积分的性质 122

习题6-1 123

第二节 微积分学的基本定理 124

一、积分上限的函数及其导数 124

二、牛顿—莱布尼兹公式 125

习题6-2 126

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 127

一、定积分的换元积分法 127

二、定积分的分部积分法 129

习题6-3 130

第四节 广义积分 131

一、无穷区间上的广义积分 131

二、无界函数的广义积分（瑕积分） 132

习题6-4 133

第七章 定积分的应用 134

第一节 平面图形的面积 134

一、定积分的元素法 134

二、平面图形的面积 135

习题7-1 136

第二节 立体的体积 137

一、旋转体的体积 137

二、平行截面面积为己知的立体的体积 138

习题7-2 138

第三节 平面曲线的弧长 139

习题7-3 140

第四节 定积分在物理和经济上的应用 140

一、定积分在物理上的应用 140

二、定积分在经济上的应用 141

习题7-4 142

第八章 空间解析几何与向量代数 143

第一节 空间直角坐标系及向量的坐标表示 143

一、空间直角坐标系 143

二、空间任意两点间的距离 144

三、向量的坐标表示 144

四、向量的乘积运算 145

习题8-1 146

第二节 平面与直线方程 146

一、平面及其方程 146

二、直线及其方程 147

习题8-2 148

第三节 曲面与曲线方程 148

一、曲面方程 148

二、曲线方程 150

三、空间曲线在坐标面上的投影 151

习题8-3 151

第九章 多元函数微分学 152

第一节 二元函数的基本概念 152

一、引例 152

二、二元函数 152

三、二元函数的极限 153

四、二元函数的连续性 154

习题9-1 155

第二节 偏导数与全微分 155

一、二元函数偏导数 156

二、全微分 157

习题9-2 159

第三节 多元复合函数与隐函数的微分法 159

一、多元复合函数求导法则 159

二、隐函数的求导公式 162

习题9-3 163

第四节 偏导数的应用 164

一、偏导数的几何应用举例 164

二、二元函数的极值 166

习题9-4 170

第十章 重积分 171

第一节 二重积分的概念与性质 171

一、二重积分的概念 171

二、二重积分的性质 172

习题10-1 173

第二节 二重积分的计算 174

一、利用直角坐标计算二重积分 174

二、利用极坐标计算二重积分 176

习题10-2 178

第三节 二重积分的应用 179

一、几何上的应用 179

二、物理上的应用 181

习题10-3 182

第四节 三重积分简介 182

一、三重积分的概念 182

二、三重积分的计算 183

习题10-4 184

第十一章 微分方程 185

第一节 微分方程的基本概念 185

一、微分方程 185

二、微分方程的解 185

习题11-1 187

第二节 可分离变量方程与变量变换 188

一、可分离变量方程 188

二、齐次方程 189

习题11-2 190

第三节 一阶线性微分方程 191

一、一阶线性齐次方程的解法 191

二、一阶线性非齐次方程的解法 191

习题11-3 193

第四节 可降阶的高阶微分方程 194

一、y（n）=f（x）型的微分方程 194

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 194

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 195

习题11-4 196

第五节 二阶常系数线性微分方程 196

一、二阶线性微分方程解的结构 196

二、二阶常系数线性微分方程的解法 198

习题11-5 203

第六节 微分方程的应用举例 203

一、几何方面的应用 203

二、物理方面的应用 204

三、经济方面的应用 205

四、其他方面的应用 205

习题11-6 206

第十二章 无穷级数 207

第一节 常数项级数的概念与性质 207

一、常数项级数的概念 207

二、常数项级数的性质 208

习题12-1 210

第二节 正项级数及其收敛法 210

习题12-2 213

第三节 任意项级数及其收敛法 213

一、交错级数 213

二、绝对收敛与条件收敛 215

习题12-3 215

第四节 幂级数 216

一、幂级数及其收敛半径 216

二、幂级数的运算与性质 219

习题12-4 220

第五节 函数的幂级数展开 220

一、泰勒公式与泰勒级数 220

二、函数展开成幂级数 221

习题12-5 224

第六节 傅里叶级数 224

一、三角函数系的正交性 224

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 225

三、正弦函数与余弦函数 229

四、以2l为周期的函数展成傅里叶级数 230

习题12-6 232

习题参考答案 233

附录 253