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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、区间与邻域 2

三、函数的概念 3

四、函数的几种特性 5

五、反函数与复合函数 8

六、初等函数 9

习题1-1 12

第二节 数列的极限 14

一、数列极限的定义 14

二、收敛数列的性质 17

习题1-2 19

第三节 函数的极限 19

一、函数极限的定义 19

二、函数极限的性质 24

习题1-3 25

第四节 无穷小与无穷大 26

一、无穷小 26

二、无穷大 27

习题1-4 28

第五节 极限运算法则 28

一、无穷小量的运算法则 28

二、函数极限的四则运算法则 29

三、数列极限的四则运算法则 30

四、复合函数的极限运算法则 34

习题1-5 34

第六节 极限存在准则 两个重要极限 35

习题1-6 40

第七节 无穷小的比较 40

习题1-7 43

第八节 函数的连续性与间断点 44

一、函数的连续性 44

二、函数的间断点 46

习题1-8 47

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 48

一、连续函数的四则运算的连续性 48

二、反函数与复合函数的连续性 48

三、初等函数的连续性 50

习题1-9 51

第十节 闭区间上连续函数的性质 52

习题1-10 54

第十一节 数学模型及应用 55

习题1-11 56

第十二节 数学实验 57

一、一元函数作图（二维图形）基本函数介绍 57

二、一元函数极限的计算 60

三、作图观察函数的连续性 63

总习题一（A） 64

总习题一（B） 66

第二章 导数与微分 69

第一节 导数的概念 69

一、引例 69

二、导数的定义 70

三、导数的几何意义 74

四、函数的可导性与连续性之间的关系 76

习题2-1 76

第二节 函数的求导法则与基本导数公式 78

一、和、差、积、商的求导法则 78

二、反函数的求导法则 79

三、复合函数的求导法则 81

四、基本求导法则与导数公式 83

习题2-2 85

第三节 高阶导数 86

一、高阶导数的定义 86

二、一些常见函数的高阶导数公式 87

三、高阶导数的运算法则 89

习题2-3 89

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 90

一、隐函数的导数 90

二、由参数方程所确定的函数的导数 93

三、相关变化率 95

习题2-4 96

第五节 函数的微分 97

一、微分的定义 97

二、基本微分公式与微分运算法则 99

三、微分的几何意义 101

四、微分在近似计算中的应用 102

习题2-5 103

第六节 数学模型 104

习题2-6 106

第七节 数学实验 107

一、一元显函数求导的计算 107

二、隐函数和参数方程求导的计算 108

三、一元函数的微分计算 109

总习题二（A） 110

总习题二（B） 112

第三章 微分中值定理与导数的应用 114

第一节 微分中值定理 114

一、函数的极值 114

二、微分中值定理 115

习题3-1 121

第二节 泰勒公式 122

习题3-2 128

第三节 洛必达法则 129

一、0/0型未定式的洛必达法则 129

二、∞/∞型未定式的洛必达法则 130

三、其他类型的未定式 131

习题3-3 134

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 134

一、函数单调性的判定法 134

二、曲线的凹凸性及拐点 137

习题3-4 141

第五节 函数的极值与最值 142

一、函数的极值 142

二、最值问题 145

习题3-5 147

第六节 函数图形的描绘 148

一、曲线的渐近线 148

二、函数图形的描绘 151

习题3-6 153

第七节 曲率 153

一、弧微分 153

二、曲率及其计算公式 154

三、曲率圆、曲率中心与曲率半径 157

四、渐屈线与渐伸线 159

习题3-7 160

第八节 数学模型 161

习题3-8 162

第九节 数学实验 163

一、中值定理的验证 163

二、泰勒公式的计算 164

三、利用洛必达法则求函数极限 166

四、研究函数的性态 166

总习题三（A） 168

总习题三（B） 169

第四章 不定积分 172

第一节 不定积分的概念与性质 172

一、原函数与不定积分的概念 172

二、基本积分表 175

三、不定积分的性质 175

习题4-1 178

第二节 换元积分法 178

一、第一类换元积分法 178

二、第二类换元积分法 184

习题4-2 188

第三节 分部积分法 190

习题4-3 194

第四节 几种特殊类型函数的积分 194

一、有理函数的不定积分 194

二、可化为有理函数的不定积分举例 198

习题4-4 201

第五节 积分表的使用 201

习题4-5 202

第六节 数学模型 203

第七节 数学实验 203

总习题四（A） 206

总习题四（B） 208

第五章 定积分及其应用 210

第一节 定积分的概念与性质 210

一、引例 210

二、定积分的定义 212

三、定积分的性质 216

习题5-1 219

第二节 微积分学基本公式 219

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 220

二、积分上限的函数及其导数 220

三、牛顿-莱布尼茨公式 223

习题5-2 225

第三节 定积分的换元法与分部积分法 227

一、定积分的换元积分法 227

二、定积分的分部积分法 231

习题5-3 233

第四节 反常积分 235

一、无穷限的反常积分 235

二、无界函数的反常积分 237

习题5-4 239

第五节 定积分的元素法及其应用 240

一、定积分的元素法 240

二、定积分在几何学上的应用 241

三、定积分在物理学上的应用 248

习题5-5 253

第六节 数学模型 254

习题5-6 256

第七节 数学实验 256

一、通过求曲边梯形面积描述定积分定义的动态演示 256

二、定积分和反常积分的符号计算 258

三、定积分的数值计算 261

总习题五（A） 264

总习题五（B） 266

附录Ⅰ 积分表 270

附录Ⅱ 几种常用的曲线 276

附录Ⅲ MATLAB软件简介 280

习题答案与提示 291

参考文献 312