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第1篇 复变函数 1

第1章 复数和复变函数 1

1.1 复数及其表示 1

1.1.1 复数的定义 1

1.1.2 复数的表示 1

1.2 复数的运算及其几何意义 3

1.2.1 复数的四则运算 4

1.2.2 复数的乘方和方根 5

1.2.3 共轭复数及其性质 7

1.2.4 曲线的复数方程 9

1.3 平面点集和区域 9

1.3.1 复平面上的点集 9

1.3.2 区域与简单曲线 10

1.4 复变函数 12

1.4.1 复变函数的概念 12

1.4.2 曲线在映射下的像 14

1.5 复球面与无穷远点 16

1.5.1 复球面 16

1.5.2 扩充复平面上的几个概念 17

习题1 17

第2章 解析函数 20

2.1 复变函数的极限和连续 20

2.1.1 复变函数的极限 20

2.1.2 复变函数的连续性 22

2.2 解析函数的概念 23

2.2.1 复变函数的导数 23

2.2.2 解析函数的概念 25

2.3 函数解析的充要条件 26

2.4 解析函数的物理意义 31

2.4.1 调和函数 31

2.4.2 解析函数与调和函数的关系 32

2.4.3 正交曲线族 34

2.5 初等解析函数 36

2.5.1 指数函数 36

2.5.2 对数函数 37

2.5.3 幂函数 39

2.5.4 三角函数 40

2.5.5 反三角函数与反双曲函数 43

习题2 45

第3章 复变函数的积分 48

3.1 复变函数的积分 48

3.1.1 复变函数积分的概念 48

3.1.2 积分的存在性及其计算公式 49

3.1.3 积分的基本性质 53

3.2 柯西定理 54

3.2.1 柯西定理的表述与推论 55

3.2.2 原函数与不定积分 56

3.2.3 柯西定理的推广 58

3.3 柯西积分公式 60

3.4 解析函数的高阶导数 63

3.4.1 解析函数的重要性质 63

3.4.2 柯西不等式 66

3.4.3 解析函数的等价概念 67

习题3 68

第4章 解析函数的级数展开 71

4.1 复数项级数与复函数项级数 71

4.1.1 数列的极限 71

4.1.2 复数项级数 72

4.1.3 复函数项级数 76

4.2 幂级数 77

4.2.1 幂级数的概念 77

4.2.2 收敛圆与收敛半径 78

4.2.3 幂级数的运算和性质 80

4.3 泰勒级数 82

4.3.1 解析函数的泰勒展开式 82

4.3.2 初等函数的泰勒展开式 85

4.4 罗朗级数 88

4.5 孤立奇点 96

4.5.1 可去奇点 96

4.5.2 极点 97

4.5.3 本性奇点 100

4.5.4 函数在无穷远点的性态 101

习题4 103

第5章 留数及其应用 107

5.1 留数的概念与计算 107

5.1.1 留数的概念及留数定理 107

5.1.2 留数的计算 108

5.1.3 在无穷远点的留数 113

5.2 留数在定积分计算中的应用 118

5.2.1 计算？R(cos x,sin x)dx型积分 119

5.2.2计算？P(x)/Q(x)dx型积分 121

5.2.3 计算？f(x)eiλxdx型积分 123

5.3 对数留数与辐角原理 128

5.3.1 对数留数 129

5.3.2 辐角原理 130

5.3.3 儒歇定理 132

习题5 135

第6章 保角映射 138

6.1 保角映射的概念 138

6.1.1 导数的几何意义 138

6.1.2 保角映射的概念 140

6.2 分式线性映射 142

6.2.1 分式线性映射 142

6.2.2 分式线性映射的性质 144

6.2.3 3类典型的分式线性映射 147

6.3 几个初等函数所构成的映射 152

6.3.1 幂函数与根式函数 153

6.3.2 指数函数与对数函数 155

6.3.3 儒可夫斯基函数 160

习题6 163

第2篇 数学物理方程 166

第7章 数学物理方程的导出及定解问题 166

7.1 数学物理方程的导出 166

7.1.1 波动方程的导出 166

7.1.2 热传导方程的导出 169

7.1.3 拉普拉斯方程的导出 171

7.2 数学物理方程的定解条件 171

7.2.1 初始条件 172

7.2.2 边界条件 172

7.3 数学物理方程的定解问题 174

7.4 线性偏微分方程的叠加原理与齐次化原理 175

7.4.1 线性偏微分方程的叠加原理 176

7.4.2 齐次化原理 177

习题7 179

第8章 求解数学物理方程的分离变量法 181

8.1 一维波动方程 181

8.1.1 第一类齐次边界条件 181

8.1.2 第二类齐次边界条件 185

8.1.3 解的物理意义 188

8.2 一维热传导方程 190

8.2.1 第一类齐次边界条件 190

8.2.2 第三类齐次边界条件 191

8.3 二维拉普拉斯方程 195

8.3.1 矩形区域 195

8.3.2 圆域 197

8.4 非齐次方程的解法 201

8.4.1 固有函数法 201

8.4.2 齐次化原理 205

8.5 非齐次边界条件的处理 209

习题8 216

第9章 数学物理方程的初值问题 219

9.1 一维波动方程 219

9.1.1 齐次方程的求解 220

9.1.2 半无限长弦的自由振动——反射波法 224

9.1.3 非齐次方程的求解 225

9.2 一维热传导方程 227

9.2.1 齐次方程的求解 227

9.2.2 半无限长细杆热传导问题的求解 231

9.2.3 非齐次方程的求解 233

9.3 三维波动方程 236

9.3.1 三维波动方程的球对称解 237

9.3.2 三维波动方程的泊松公式 238

9.3.3 泊松公式的物理意义 243

习题9 245

第3篇 积分变换 247

第10章 傅里叶变换 247

10.1 傅里叶积分公式 248

10.1.1 傅里叶级数 248

10.1.2 傅里叶积分公式 250

10.2 傅里叶变换 253

10.2.1 傅里叶变换的定义 253

10.2.2 余弦与正弦傅里叶变换 257

10.3 广义傅里叶变换 258

10.3.1 δ函数 258

10.3.2 δ函数的性质 260

10.3.3 基本函数的广义傅里叶变换 263

10.4 傅里叶变换与逆变换 265

10.4.1 傅里叶变换的基本性质 265

10.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理 272

习题10 274

第11章 拉普拉斯变换 277

11.1 拉普拉斯变换的概念 277

11.1.1 拉普拉斯变换的存在性 277

11.1.2 常用函数的拉普拉斯变换 280

11.1.3 拉普拉斯变换的积分下限 284

11.2 拉普拉斯变换的性质 285

11.3 拉普拉斯逆变换 294

11.3.1 复反演积分公式 294

11.3.2 利用留数定理求像原函数 295

11.4 拉普拉斯变换的卷积与卷积定理 297

习题11 299

第12章 积分变换的应用 302

12.1 拉普拉斯变换解常微分方程定解问题 302

12.1.1 常微分方程初始值问题 303

12.1.2 常微分方程组的初始值问题 303

12.1.3 常微分方程的边值问题 304

12.1.4 积分微分方程定解问题 305

12.2 傅里叶变换解数学物理方程定解问题 305

12.2.1 一维弦振动问题 306

12.2.2 一维热传导问题 308

12.3 拉普拉斯变换解数学物理方程定解问题 309

12.3.1 一维弦振动问题 309

12.3.2 一维热传导问题 310

习题12 312

习题答案 315

习题1 315

习题2 316

习题3 318

习题4 318

习题5 321

习题6 322

习题7 323

习题8 324

习题9 326

习题10 327

习题11 328

习题12 329

附录 331

附录1 傅氏变换简表 331

附录2 拉氏变换简表 338