高等数学思想方法论PDF电子书下载

1 微积分的思想方法 1

1.1 微积分思想的孕育 1

1.1.1 欧多克索斯的“穷竭法” 1

1.1.2 开普勒的“旋转体体积” 2

1.1.3 卡瓦列里的“不可分量原理” 3

1.1.4 笛卡尔的“圆法” 4

1.1.5 费马的“极值法” 5

1.1.6 巴罗的“微分三角形” 6

1.2 牛顿的微积分思想 8

1.2.1 科学巨擘牛顿 8

1.2.2 “流数法”的初建 10

1.2.3 “最初比与最终比方法”的确立 15

1.3 莱布尼兹的微积分思想 16

1.3.1 微积分思想发展过程 16

1.3.2 微积分符号的创造 20

1.3.3 微积分基本公式的建立 20

1.4 牛顿与莱布尼兹微积分思想的比较 23

1.4.1 两种思想方法的异同 23

1.4.2 “优先权”之争对微积分发展的影响 25

2 微积分思想方法的深化与发展 28

2.1 微积分可靠性质疑 28

2.2 以极限为核心的思想 30

2.2.1 极限概念的雏形 30

2.2.2 柯西的极限理论 31

2.2.3 “ε-δ”语言的应用 33

2.3 函数概念的深化 35

2.4 向多元微积分推广 39

2.5 无穷级数的思想方法 41

2.5.1 级数思想方法的产生 41

2.5.2 发散级数对级数思想方法的推动 43

2.5.3 收敛理论的形成 46

2.5.4 一致收敛与级数的分析性质 47

2.5.5 傅立叶级数及其收敛定理 48

2.6 常微分方程的思想方法 52

2.6.1 常微分方程的思想源泉 52

2.6.2 常微分方程的求解方法 55

2.6.3 解的存在与惟一性定理 58

3 解析几何与线性代数的思想方法 61

3.1 平面解析几何的思想方法 61

3.1.1 解析几何产生的时代特征 61

3.1.2 笛卡尔的《方法论》 62

3.1.3 费马的《轨迹引论》 66

3.1.4 平面解析几何的完善 68

3.2 空间解析几何的思想方法 69

3.3 行列式和矩阵的思想方法 72

3.3.1 行列式 72

3.3.2 矩阵 73

3.4 高斯与二次型理论 76

3.5 四元数与向量代数 80

4 概率论与数理统计的思想方法 87

4.1 概率的古典定义 87

4.1.1 帕斯卡和费马的“点问题” 87

4.1.2 惠更斯的“数学期望” 88

4.1.3 伯努利的“大数定理” 89

4.1.4 蒲丰的“投针问题” 90

4.1.5 贝叶斯公式 91

4.1.6 拉普拉斯的“古典定义” 92

4.2 概率的极限理论 92

4.2.1 泊松及泊松分布 93

4.2.2 棣莫弗—拉普拉斯定理 94

4.2.3 林德贝格—勒维“中心极限定理 95

4.3 概率论的公理化 97

4.3.1 概率悖论 97

4.3.2 概率论的公理化 99

4.4 公理化后概率论的发展 102

4.4.1 中心极限定理的推广 102

4.4.2 随机过程研究 103

4.4.3 鞅论与随机分析 105

4.5 数理统计思想方法 106

4.5.1 英国的数理统计思想方法 106

4.5.2 美国的“序贯分析”理论 109

4.5.3 多元分析理论的建立 110

5 高等数学中的辩证思想方法 113

5.1 直与曲 113

5.2 常量与变量 119

5.2.1 常量在一定条件下具有任意性 119

5.2.2 常量与变量的相对性 120

5.2.3 通过常量来刻划变量 121

5.2.4 通过变量来研究常量 124

5.3 连续与间断 126

5.3.1 连续与间断是事物两种不同的性态 126

5.3.2 连续与间断在一定条件下可以相互转化 128

5.4 有限与无限 130

5.4.1 有限与无限存在质的差异 131

5.4.2 通过有限认识无限 132

5.4.3 通过无限来表示有限 134

5.5 抽象与具体 135

5.5.1 高度抽象是数学的主要特征 135

5.5.2 高度抽象使数学具有广泛应用 138

5.6 局部与整体 142

5.7 偶然性与必然性 145

5.7.1 随机事件与必然事件 145

5.7.2 蝴蝶效应与偶然性 147

5.7.3 “混沌”并非完全无序 150

5.7.4 “混沌”的度量 151

5.7.5 偶然性与必然性的重新认识 152

6 高等数学中蕴含的美学思想 154

6.1 简单美 155

6.1.1 符号简单 156

6.1.2 形式简单 159

6.1.3 结构简单 160

6.1.4 方法简单 161

6.2 对称美 163

6.2.1 形式对称 163

6.2.2 关系对称 165

6.2.3 对称美方法的运用 167

6.3 和谐美 170

6.3.1 严谨是和谐的基础 170

6.3.2 统一是和谐的标志 172

6.4 奇异美 177

7 中国高等数学思想的萌芽和发展 182

7.1 线性方程组与矩阵 182

7.2 极限思想 188

7.2.1 割圆术 189

7.2.2 弧田术 191

7.3 积分思想 193

7.3.1 “积幂成体”思想 193

7.3.2 祖氏原理 195

7.3.3 尖锥求积术 199

7.4 级数理论 201

7.4.1 等差级数 201

7.4.2 等比级数 204

7.4.3 幂级数 205

7.5 解析几何的萌芽 211

7.6 西方高等数学的传入 214

7.7 初步的运筹思想 217

7.7.1 在军事方面 218

7.7.2 在运输方面 219

7.7.3 在工程方面 220

8 现代数学思想方法窥视 221

8.1 非标准分析 221

8.2 突变理论 224

8.3 模糊数学 227

8.4 分形几何 230

8.5 计算数学 234

8.6 21世纪的数学问题 241

8.7 国际数学家大会与菲尔兹奖 244

附录 249

附录一：历届国际数学家大会简介 249

附录二：历届菲尔兹奖获得者 259