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第1章 基础理论知识 1

1.1 常微分方程模型与求解 1

1.2 矢量微分算子与拉普拉斯算子 10

1.2.1 矢量微分算子？ 10

1.2.2 拉普拉斯算子？2 15

第2章 傅里叶级数 20

2.1 周期函数的傅里叶级数 20

2.2 半幅傅里叶级数 26

2.3 傅里叶积分 29

第3章 傅里叶变换 35

3.1 傅里叶变换简介 35

3.1.1 傅里叶变换的定义 35

3.1.2 傅里叶变换的性质 38

3.2 δ函数 42

3.2.1 δ函数的定义和含义 42

3.2.2 δ函数的性质 43

3.2.3 δ函数的辅助函数 47

3.2.4 狄利克雷定理的证明 52

3.3 典型函数的傅里叶变换 54

3.4 傅里叶变换应用举例 70

第4章 拉普拉斯变换 78

4.1 拉普拉斯变换简介 78

4.1.1 拉普拉斯变换的定义 78

4.1.2 拉普拉斯变换的性质 80

4.2 典型函数的拉普拉斯变换 84

4.3 拉普拉斯变换应用举例 89

第5章 基本数学物理方程的建立 98

5.1 波动方程 98

5.1.1 弦振动问题 98

5.1.2 强迫振动与阻尼振动 100

5.1.3 高频传输线问题 102

5.2 热传导方程 104

5.3 拉普拉斯方程 107

5.4 二阶偏微分方程 110

5.4.1 分类与标准形式 110

5.4.2 常系数方程 116

5.5 定解问题 120

5.5.1 一个例子 120

5.5.2 泛定方程与叠加原理 120

5.5.3 初始条件与边界条件 123

5.5.4 几个典型的定解问题 125

第6章 分离变量法 132

6.1 弦振动问题 132

6.1.1 弦振动问题的求解 132

6.1.2 解的物理意义及驻波条件 137

6.2 基本定解问题 140

6.3 二维泛定方程的定解问题 155

6.3.1 二维波动方程 155

6.3.2 二维热传导方程 160

6.4 第三类边界条件下的定解问题 162

6.4.1 本征函数的正交性 162

6.4.2 热辐射定解问题 163

第7章 分离变量法的应用 175

7.1 热吸收定解问题 175

7.1.1 吸收-耗散系统 175

7.1.2 吸收-绝热系统 184

7.2 综合热传导定解问题 190

7.2.1 对称边界条件 190

7.2.2 反对称边界条件 198

7.3 拉普拉斯方程的求解 208

7.3.1 直角坐标系的拉普拉斯方程 208

7.3.2 极坐标系的拉普拉斯方程 216

第8章 本征函数法 224

8.1 本征函数法的引入 224

8.2 非齐次方程的解法 227

8.2.1 一分为二法 227

8.2.2 合二为一法 230

8.3 有源热传导定解问题 236

8.3.1 绝热系统 236

8.3.2 绝热-耗散系统 240

8.3.3 绝热-辐射系统 242

8.3.4 吸收-耗散系统 244

8.4 泊松方程的定解问题 247

8.5 非齐次边界条件的处理 252

8.6 综合定解问题的求解 256

第9章 施图姆-刘维尔理论及应用 266

9.1 施图姆-刘维尔本征值问题 266

9.2 施图姆-刘维尔理论的应用：吊摆问题 271

9.3 厄米算符本征函数的正交性 275

第10章 行波法 278

10.1 一维波动方程的通解 278

10.2 一维波动方程的达朗贝尔公式 281

10.2.1 达朗贝尔公式的推导 281

10.2.2 达朗贝尔公式的讨论 284

10.3 双曲型方程的定解问题 286

10.4 一阶线性偏微分方程的特征线法 289

10.5 非齐次波动方程：齐次化原理 291

10.6 三维波动方程 296

10.6.1 三维波动方程的球对称解 297

10.6.2 三维波动方程的泊松公式 297

10.6.3 泊松公式的物理意义 300

10.7 旁轴波动方程：格林算子法 303

10.7.1 旁轴波动方程的解 303

10.7.2 光学元件与光学系统的格林算子 306

10.7.3 格林算子法的应用 307

10.8 非线性波动方程：光学孤立子 309

第11章 积分变换法 311

11.1 傅里叶变换法 311

11.1.1 热传导问题与高斯核 312

11.1.2 傅里叶变换法的应用 315

11.2 拉普拉斯变换法 324

11.3 联合变换法 334

11.3.1 对流热传导问题 334

11.3.2 线性衰变的影响 336

11.3.3 有源热传导问题 338

11.3.4 非齐次波动方程问题 342

11.3.5 无边界电报方程问题 345

11.4 半导体载流子的输运方程 346

第12章 格林函数法 349

12.1 无界域的格林函数 349

12.2 三维波动方程问题 353

12.3 一维有界热传导问题 358

12.4 格林公式 362

12.4.1 格林定理 362

12.4.2 散度定理 364

12.4.3 格林公式 366

12.5 拉普拉斯方程和泊松方程 367

12.5.1 拉普拉斯方程的基本解 367

12.5.2 泊松方程的基本积分公式 368

12.5.3 泊松方程的边值问题 370

12.6 格林函数法的应用：电像法 376

12.7 第二、第三类边值问题的格林函数 387

12.7.1 第二类边值问题的格林函数 387

12.7.2 第三类边值问题的格林函数 389

12.8 非线性问题的格林函数解法 392

第13章 贝塞尔函数 395

13.1 几个微分方程的引入 395

13.2 伽马函数的基本知识 398

13.3 贝塞尔方程的求解 401

13.3.1 贝塞尔方程的广义幂级数解 401

13.3.2 第一类贝塞尔函数 402

13.3.3 贝塞尔方程的通解 404

13.4 贝塞尔函数的基本性质 408

13.4.1 生成函数 408

13.4.2 递推公式 409

13.4.3 积分表示 415

13.4.4 渐近公式 419

13.5 贝塞尔函数的正交完备性 420

13.5.1 正交函数集的构造 420

13.5.2 参数形式的贝塞尔函数 422

13.5.3 贝塞尔函数的正交性 424

13.5.4 贝塞尔函数的完备性 427

13.6 贝塞尔函数应用举例 431

13.7 球贝塞尔函数 437

第14章 勒让德多项式 440

14.1 勒让德方程的引入 440

14.2 勒让德多项式 441

14.3 勒让德多项式的基本性质 449

14.3.1 微分表示 449

14.3.2 积分表示 450

14.3.3 生成函数 451

14.3.4 递推公式 455

14.3.5 例题 459

14.4 勒让德多项式的正交完备性 466

14.4.1 正交性 466

14.4.2 模值 467

14.4.3 完备性 469

14.4.4 例题 470

14.5 勒让德多项式应用举例 480

第15章 量子力学薛定谔方程 485

15.1 薛定谔方程的一般解 485

15.2 角向解：球谐函数 488

15.2.1 中心力场 488

15.2.2 连带勒让德函数 490

15.2.3 连带勒让德函数的性质 492

15.2.4 球谐函数 495

15.2.5 球谐函数的性质 497

15.3 径向解：广义拉盖尔多项式 499

15.3.1 库仑场中的束缚态 499

15.3.2 广义拉盖尔多项式 504

15.3.3 径向概率密度 507

15.4 量子谐振子与厄米多项式 514

15.4.1 量子谐振子 514

15.4.2 厄米多项式 523

15.4.3 系统的含时解 528

15.4.4 概率密度 529

索引 534