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第1章 数值计算引论 1

1.1 数值分析的内容和特点 1

1.2 数值计算的误差 2

1.2.1 误差的来源 2

1.2.2 误差与有效数字 3

1.2.3 函数求值的误差估计 5

1.2.4 计算机中数的表示 6

1.3 病态问题与数值稳定性 7

1.4 数值计算的基本原则 8

1.4.1 避免有效数字的损失 8

1.4.2 减少运算次数 9

1.4.3 控制误差的传播 10

练习题1 12

扩展题1 13

第2章 插值法 14

2.1 引言与问题特例 14

2.2 Lagrange插值多项式 15

2.2.1 多项式插值问题 15

2.2.2 Lagrange插值多项式 16

2.2.3 插值余项 17

2.3 逐次线性插值法 19

2.3.1 逐次线性插值思想 19

2.3.2 Aitken算法 20

2.4 Newton插值多项式 22

2.4.1 均差及其性质 22

2.4.2 Newton插值公式 24

2.4.3 差分和等距节点插值公式 26

2.5 Hermite插值多项式 30

2.6 分段低次插值 32

2.6.1 高次多项式插值的问题 32

2.6.2 分段线性插值 33

2.6.3 分段三次Hermite插值 35

2.7 三次样条插值 36

2.7.1 三次样条插值函数的概念 36

2.7.2 三弯矩算法 37

2.7.3 三转角算法 40

2.7.4 三次样条插值函数的性质 43

练习题2 45

扩展题2 46

第3章 函数逼近与数据拟合 48

3.1 引言与问题特例 48

3.2 正交多项式 49

3.2.1 离散点集上的正交多项式 50

3.2.2 连续区间上的正交多项式 51

3.3 连续函数的最佳逼近 54

3.3.1 连续函数的最佳平方逼近 55

3.3.2 连续函数的最佳一致逼近 58

3.4 离散数据的曲线拟合 61

3.4.1 最小二乘拟合 61

3.4.2 多项式拟合 62

3.4.3 正交多项式拟合 65

练习题3 68

扩展题3 68

第4章 数值积分与数值微分 70

4.1 引言与问题特例 70

4.2 Newton-Cotes求积公式 71

4.2.1 插值型求积法 71

4.2.2 Newton-Cotes求积公式 72

4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析 74

4.3 复化求积公式 77

4.3.1 复化梯形求积公式 77

4.3.2 复化Simpson公式 79

4.3.3 变步长求积法 80

4.4 外推原理与Romberg求积法 82

4.4.1 外推原理 82

4.4.2 Romberg求积法 84

4.5 Gauss求积公式 86

4.5.1 Gauss求积公式的基本理论 86

4.5.2 常用Gauss求积公式 88

4.5.3 Gauss求积公式的余项与稳定性 91

4.6 奇异积分的数值计算 93

4.6.1 反常积分的计算 93

4.6.2 无穷区间积分的计算 95

4.7 振荡函数的积分 98

4.7.1 分部积分法 99

4.7.2 Filon法 100

4.8 数值微分 102

4.8.1 插值型求导公式 103

4.8.2 三次样条函数求导 104

4.8.3 数值微分的外推算法 105

练习题4 106

扩展题4 107

第5章 线性方程组的直接解法 109

5.1 引言与问题特例 109

5.2 Gauss消去法 110

5.2.1 Gauss消去法的计算过程 110

5.2.2 矩阵的三角分解 113

5.2.3 主元素消去法 116

5.2.4 Gauss-Jordan消去法 120

5.3 直接三角分解方法 122

5.3.1 一般矩阵的直接三角分解法 122

5.3.2 三对角方程组的追赶法 125

5.3.3 平方根法 127

5.4 向量和矩阵的范数 130

5.4.1 向量的范数与极限 130

5.4.2 矩阵的范数 132

5.5 方程组的性态与误差估计 136

5.5.1 矩阵的条件数 136

5.5.2 方程组解的误差估计 138

练习题5 141

扩展题5 144

第6章 线性方程组的迭代解法 146

6.1 引言与问题特例 146

6.2 基本迭代方法 147

6.2.1 迭代公式的构造 147

6.2.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 148

6.3 迭代法的收敛性 150

6.3.1 一般迭代法的收敛性 150

6.3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 154

6.4 超松弛迭代法 157

6.5 分块迭代法 160

6.6 共轭梯度法 162

6.6.1 等价问题与几何意义 162

6.6.2 最速下降法 163

6.6.3 共轭梯度法 164

练习题6 167

扩展题6 168

第7章 非线性方程的数值解法 170

7.1 引言与问题特例 170

7.2 方程求根的二分法 172

7.3 一元方程的不动点迭代法 173

7.3.1 不动点迭代法及其收敛性 173

7.3.2 局部收敛性和加速收敛法 177

7.4 一元方程的常用迭代法 181

7.4.1 Newton迭代法 181

7.4.2 割线法与抛物线法 184

7.5 多项式求根 186

7.5.1 多项式及其导数求值的计算 187

7.5.2 代数方程的Newton法 187

7.5.3 共轭复根的计算 189

练习题7 191

扩展题7 192

第8章 非线性方程组的数值解法 193

8.1 引言与问题特例 193

8.2 非线性方程组的不动点迭代法 194

8.2.1 向量值函数的导数及其性质 194

8.2.2 不动点迭代法 196

8.3 非线性方程组的Newton法与拟Newton法 200

8.3.1 Newton法及其收敛性 200

8.3.2 拟Newton法 203

练习题8 205

扩展题8 206

第9章 矩阵特征值问题的数值计算 207

9.1 引言与问题特例 207

9.2 特征值的性质与估计 208

9.3 幂法和反幂法 210

9.3.1 幂法和加速方法 210

9.3.2 反幂法和原点位移 213

9.4 Jacobi方法 216

9.5 QR算法 220

9.5.1 化矩阵为Hessenberg形 220

9.5.2 QR算法及其收敛性 223

9.5.3 带原点位移的QR算法 227

9.6 广义特征值问题 230

9.6.1 约化到标准特征值问题的计算 230

9.6.2 乘积型矩阵特征值问题的计算 231

练习题9 232

扩展题9 234

第10章 常微分方程的数值解法 235

10.1 引言与问题特例 235

10.2 简单数值方法 236

10.2.1 Euler方法及其有关的方法 236

10.2.2 局部误差和方法的阶 239

10.3 Runge-Kutta方法 241

10.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想 241

10.3.2 几类显式Runge-Kutta方法 242

10.4 单步法的收敛性和稳定性 246

10.4.1 单步法的收敛性 246

10.4.2 单步法的稳定性 247

10.5 线性多步法 250

10.5.1 基于数值积分的方法 250

10.5.2 基于Taylor展开的方法 252

10.5.3 预估-校正算法 255

10.6 一阶方程组的数值解法 258

10.6.1 一阶方程组和高阶方程 258

10.6.2 刚性方程组 260

10.7 边值问题的数值解法 262

10.7.1 打靶法 262

10.7.2 差分法 265

10.7.3 差分问题的收敛性 268

练习题10 270

扩展题10 272

第11章 偏微分方程的数值解法 274

11.1 引言与问题特例 274

11.2 抛物型方程的差分法 275

11.2.1 显式差分法 275

11.2.2 隐式差分法 277

11.2.3 Crank-Nicolson方法 279

11.3 双曲型方程的差分法 281

11.4 椭圆型方程的差分法 284

11.5 有限元法 287

练习题11 294

扩展题11 296

部分练习题提示与答案 297

参考文献 305