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第1章 极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 预备知识 1

1.1.2 映射 4

1.1.3 函数 6

1.1.4 初等函数 11

1.1.5 双曲函数与反双曲函数 14

习题1.1 15

1.2 数列的极限 16

1.2.1 引例（割圆术） 16

1.2.2 数列的概念 17

1.2.3 数列极限的概念 17

1.2.4 收敛数列的性质 20

1.2.5 子数列的概念 21

习题1.2 22

1.3 函数的极限 22

1.3.1 函数极限的概念 23

1.3.2 函数极限的性质 27

1.3.3 函数极限与数列极限的关系 28

习题1.3 29

1.4 无穷小量与无穷大量 29

1.4.1 无穷小量 30

1.4.2 无穷大量 32

习题1.4 34

1.5 极限运算法则 35

1.5.1 极限的四则运算法则 35

1.5.2 复合函数的极限运算法则 38

习题1.5 40

1.6 极限存在准则 两个重要极限 41

1.6.1 准则Ⅰ：夹逼准则 41

1.6.2 准则Ⅱ：单调有界收敛准则 44

习题1.6 48

1.7 无穷小的比较 49

1.7.1 无穷小的比较 49

1.7.2 无穷小的阶 50

1.7.3 等价无穷小的应用 51

习题1.7 52

1.8 函数的连续性与间断点 53

1.8.1 函数的连续性 53

1.8.2 初等函数的连续性 55

1.8.3 函数的间断点及其分类 59

习题1.8 62

1.9 闭区间上连续函数的性质 63

习题1.9 65

1.10 本章小结 66

1.10.1 基本要求 66

1.10.2 内容提要 66

1.11 总习题1 67

第2章 导数与微分 70

2.1 导数的定义 70

2.1.1 引例 70

2.1.2 导数的定义 71

2.1.3 求导举例 72

2.1.4 导数的几何意义 75

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 77

习题2.1 78

2.2 求导法则 79

2.2.1 函数的和、差、积、商求导法则 79

2.2.2 反函数的求导法则 81

2.2.3 复合函数的求导法则 82

2.2.4 基本求导法则与导数公式 84

2.2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 86

习题2.2 90

2.3 高阶导数及相关变化率 91

2.3.1 高阶导数 91

2.3.2 相关变化率 96

习题2.3 98

2.4 微分 99

2.4.1 微分的概念 99

2.4.2 微分的运算法则及基本公式 102

2.4.3 高阶微分 104

习题2.4 105

2.5 本章小结 106

2.5.1 基本要求 106

2.5.2 内容提要 106

2.6 总习题2 107

第3章 微分中值定理与导数的应用 110

3.1 微分中值定理 110

3.1.1 费马（Fermat）引理 110

3.1.2 罗尔（Rolle）定理 111

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 112

3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 114

习题3.1 116

3.2 洛必达（L'Hospital）法则 117

3.2.1 0/0型极限 117

3.2.2 ∞/∞型极限 119

3.2.3 0·∞,∞-∞,00,∞0,1∞型极限 120

习题3.2 122

3.3 泰勒（Taylor）公式 123

3.3.1 泰勒多项式 123

3.3.2 泰勒中值定理 124

3.3.3 基本初等函数的麦克劳林公式 126

习题3.3 129

3.4 函数的单调性和极值 130

3.4.1 函数单调性的判定方法 130

3.4.2 函数的极值 132

3.4.3 函数的最值 135

习题3.4 138

3.5 函数图形的描绘 139

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 139

3.5.2 曲线的渐近线 142

3.5.3 函数的作图 143

习题3.5 145

3.6 平面曲线的曲率 146

3.6.1 弧微分 146

3.6.2 曲率及其计算公式 147

3.6.3 曲率圆和曲率半径 148

习题3.6 149

3.7 本章小结 149

3.7.1 基本要求 149

3.7.2 内容提要 150

3.8 总习题3 151

第4章 不定积分 153

4.1 不定积分的概念与性质 153

4.1.1 原函数的概念 153

4.1.2 不定积分的概念 154

4.1.3 基本积分公式 156

4.1.4 不定积分的基本运算法则 156

习题4.1 159

4.2 换元积分法 159

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 159

4.2.2 第二类换元法 165

习题4.2 170

4.3 分部积分法 171

习题4.3 176

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 177

4.4.1 有理函数的积分 177

4.4.2 可化为有理函数的积分 181

习题4.4 184

4.5 本章小结 184

4.5.1 基本要求 184

4.5.2 内容提要 185

4.6 总习题4 186

第5章 定积分及其应用 188

5.1 定积分的概念 188

5.1.1 引例 188

5.1.2 定积分的概念 190

5.1.3 定积分的几何意义 193

习题5.1 194

5.2 定积分的性质 195

习题5.2 199

5.3 微积分基本定理 200

5.3.1 积分变上限函数及其导数 201

5.3.2 微积分的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式） 204

习题5.3 205

5.4 定积分的换元法与分部积分法 207

5.4.1 定积分的换元积分法 207

5.4.2 定积分的分部积分法 212

习题5.4 215

5.5 广义积分 216

5.5.1 无穷区间上的广义积分 216

5.5.2 无界函数的广义积分 218

5.5.3 非负函数广义积分的判敛法则 220

习题5.5 222

5.6 定积分的几何应用 223

5.6.1 微元法基本思想 223

5.6.2 平面图形的面积 224

5.6.3 体积 228

5.6.4 平面曲线的弧长 230

习题5.6 232

5.7 定积分的物理应用 233

5.7.1 变力沿直线做功 233

5.7.2 液体对薄板的侧压力 235

5.7.3 引力 235

习题5.7 236

5.8 本章小结 237

5.8.1 基本要求 237

5.8.2 内容提要 237

5.9 总习题5 240

第6章 常微分方程 243

6.1 微分方程的基本概念 243

6.1.1 引例 243

6.1.2 微分方程的概念 244

6.1.3 微分方程的解 245

习题6.1 246

6.2 一阶微分方程 247

6.2.1 可分离变量的微分方程 248

6.2.2 一阶线性微分方程 251

6.2.3 几类可降阶的高阶微分方程 255

习题6.2 259

6.3 高阶线性微分方程 261

6.3.1 高阶线性微分方程解的结构 261

6.3.2 常系数线性微分方程 264

6.3.3 欧拉（Euler）方程 275

习题6.3 277

6.4 微分方程的应用 279

习题6.4 286

6.5 本章小结 287

6.5.1 基本要求 287

6.5.2 内容提要 287

6.6 总习题6 289

习题参考答案与提示 291

参考书目 314