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第1章 函数的极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数 4

1.1.3 反函数与复合函数 9

1.1.4 初等函数 12

1.2 数列的极限 15

1.2.1 数列的概念 15

1.2.2 数列极限的概念 17

1.2.3 收敛数列的性质 19

1.3 函数的极限 21

1.3.1 函数极限的概念 21

1.3.2 函数极限的性质 26

1.4 极限的运算法则 27

1.4.1 无穷小量与无穷大量 28

1.4.2 函数极限的运算规则 31

1.4.3 复合函数极限的运算法则 35

1.5 极限存在准则与两个重要极限 38

1.5.1 极限存在准则 38

1.5.2 两个重要极限 39

1.6 无穷小量的比较 44

1.6.1 无穷小量的比较 44

1.6.2 等价无穷小量的性质及应用 45

1.7 函数的连续性与间断点 47

1.7.1 函数连续的概念 48

1.7.2 函数的间断点 50

1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 53

1.8.1 连续函数的运算性质 53

1.8.2 初等函数的连续性 54

1.9 闭区间上连续函数的性质 56

1.9.1 最大值最小值定理 56

1.9.2 介值定理 57

复习题一 59

第2章 导数与微分 64

2.1 导数的概念 64

2.1.1 两个实例 64

2.1.2 导数的定义 65

2.1.3 求导数举例 66

2.1.4 导数的几何意义 68

2.1.5 可导与连续的关系 69

2.2 导数的运算法则 70

2.2.1 函数和或差的导数 70

2.2.2 函数积的导数 71

2.2.3 函数商的导数 72

2.3 反函数与复合函数的导数 74

2.3.1 反函数的求导法则 74

2.3.2 复合函数的求导法则 76

2.4 初等函数的导数公式 79

2.4.1 基本初等函数的导数公式 79

2.4.2 函数的和差积商的求导法则 79

2.4.3 反函数的求导法则 79

2.4.4 复合函数的求导法则 79

2.5 高阶导数 82

2.5.1 高阶导数的定义 82

2.5.2 高阶导数的运算法则 84

2.6 隐函数求导和对数求导法 86

2.6.1 隐函数的导数 86

2.6.2 对数求导法 88

2.7 参数方程所确定的函数的导数 89

2.7.1 参数方程所确定的函数的导数 90

2.7.2 参数方程所确定的函数的二阶导数 91

2.8 微分 92

2.8.1 微分的概念 93

2.8.2 函数可微的条件 93

2.8.3 微分的几何意义 95

2.8.4 微分的基本公式及运算法则 95

2.8.5 一阶微分的形式不变性 96

2.9 微分在近似计算中的应用 99

2.9.1 计算函数值改变量的近似值 99

2.9.2 计算函数值的近似值 100

2.9.3 误差估计 101

复习题二 102

第3章 微分中值定理与导数的应用 106

3.1 微分中值定理 106

3.1.1 罗尔定理 106

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 107

3.1.3 柯西中值定理 110

3.2 洛必达法则 110

3.2.1 洛必达法则 110

3.2.2 “0/0”和“∞／∞”型未定式的求法 111

3.2.3 “0·∞”，“∞—∞”，“0 0”，“1∞”，“∞0”型未定式的求法 112

3.3 函数的单调性 114

3.3.1 函数的单调性 114

3.3.2 函数单调性的应用 116

3.4 函数的极值与最大值最小值 117

3.4.1 函数的极值 117

3.4.2 函数的最大值和最小值 120

3.5 曲线的凹凸性与拐点 123

3.5.1 曲线凹凸性与拐点的定义 123

3.5.2 曲线的凹凸性与拐点的判断 124

3.6 函数图形的描绘 126

3.6.1 渐近线 127

3.6.2 函数的作图 128

3.7 曲率 131

3.7.1 弧的微分 132

3.7.2 曲率及其计算公式 133

3.7.3 曲率圆与曲率半径 135

复习题三 136

第4章 不定积分 140

4.1 不定积分的概念与运算法则 140

4.1.1 原函数与不定积分的概念 140

4.1.2 不定积分的性质及运算法则 141

4.1.3 不定积分的几何意义 141

4.1.4 积分基本公式 142

4.1.5 直接积分法 143

4.2 不定积分换元积分法 144

4.2.1 第一类换元积分法 145

4.2.2 第二类换元积分法 148

4.3 不定积分的分部积分法 152

4.4 有理函数积分法 156

4.4.1 有理函数积分法简介 156

4.4.2 真分式部分分解的步骤 157

4.5 积分表的使用 159

复习题四 161

第5章 定积分 163

5.1 定积分的概念与性质 163

5.1.1 定积分问题的引例 163

5.1.2 定积分的概念 164

5.1.3 定积分的几何意义 165

5.1.4 定积分的性质 167

5.2 牛顿-莱布尼茨公式 169

5.2.1 积分上限函数及其导数 169

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 171

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 173

5.3.1 定积分的换元积分法 173

5.3.2 定积分的分部积分法 175

5.4 广义积分 177

5.4.1 无穷区间上的广义积分 177

5.4.2 无界函数的广义积分 179

5.4.3 Г-函数 181

5.5 定积分的近似计算简介 182

5.5.1 梯形法 182

5.5.2 辛卜生求积公式 183

复习题五 185

第6章 定积分的应用 187

6.1 定积分的微元法 187

6.2 平面图形的面积 189

6.2.1 在直角坐标下的情形 189

6.2.2 在极坐标系下的情形 191

6.3 几何体的体积 193

6.3.1 平行截面面积已知的几何体的体积 193

6.3.2 旋转体的体积 194

6.4 平面曲线的弧长 196

6.4.1 方程为y=f（x）的曲线的弧 196

6.4.2 参数方程所确定的曲线的弧长 197

6.4.3 极坐标方程所确定的曲线的弧长 198

6.5 定积分在物理学中的应用 199

6.5.1 功的计算 199

6.5.2 力的计算 201

6.5.3 交流电中的平均值问题 203

复习题六 205

第7章 常微分方程 207

7.1 微分方程的基本概念 207

7.2 可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程 210

7.2.1 可分离变量的微分方程 210

7.2.2 一阶线性微分方程 212

7.3 可降阶的高阶的微分方程与齐次微分方程 216

7.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 216

7.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程 216

7.3.3 y″＝f（y,y′）型微分方程 217

7.3.4 齐次微分方程 218

7.4 二阶线性微分方程 221

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 221

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 222

7.5 二阶常系数线性微分方程的解法 224

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 224

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 227

7.6 微分方程的应用 231

7.6.1 指数增长与指数衰减模型 231

7.6.2 牛顿冷却定律的应用 233

7.6.3 一个几何问题 234

7.6.4 探照灯反光镜的设计问题 234

7.6.5 振动问题 235

复习题七 239

参考文献 243

附录 244

A 常用积分公式 244

B 基本三角函数公式 252