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第一章 偏微分方程的定解问题 1

1.1 引言 1

1.1.1 本书主要研究内容 1

1.1.2 偏微分方程的一些基本概念 1

习题1.1 3

1.2 弦的微小横振动 3

1.2.1 弦的微小横振动的定义 3

1.2.2 弦的微小横振动方程的导出 4

1.2.3 弦振动方程的定解条件 6

1.2.4 混合问题和Cauchy问题 8

1.2.5 高维波动方程 8

1.2.6 边值问题 9

习题1.2 9

1.3 热传导方程及其定解条件 10

1.3.1 有关场论的一些知识（复习） 10

1.3.2 热传导方程 11

1.3.3 热传导问题的定解条件 13

1.3.4 Cauchy问题 15

1.3.5 稳定温度场问题 15

1.3.6 低维热传导问题 15

1.3.7 非线性偏微分方程和非线性偏微分方程组 16

习题1.3 16

1.4 二阶线性偏微分方程的分类和化简 16

1.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 16

1.4.2 两个自变量二阶线性偏微分方程的分类 26

1.4.3 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 27

1.4.4 多个自变量二阶线性偏微分方程的化简 29

习题1.4 31

1.5 线性偏微分方程的叠加原理 定解问题的适定性 32

1.5.1 叠加原理 32

1.5.2 定解问题的适定性 34

第二章 行波法 波动方程Cauchy问题的解 36

2.1 一维波动方程的Cauchy问题 36

2.1.1 一维无界弦的自由振动问题 D'Alembert公式和D'Alembert解法 36

2.1.2 无界弦的强迫振动 齐次化原理 43

习题2.1 49

2.2 高维波动方程Cauchy问题的解 51

2.2.1 三维波动方程Cauchy问题的解 51

2.2.2 二维波动方程Cauchy问题的解 54

习题2.2 55

第三章 分离变量法 微分方程的特征值和特征函数 56

3.1 齐次线性方程的齐次边界条件混合问题的分离变量解法 56

3.1.1 有界弦的自由振动 分离变量法 56

3.1.2 其他定解问题的分离变量法 65

习题3.1 77

3.2 非齐次方程问题的解法 77

3.2.1 有界弦的强迫振动 特征函数展开法 77

3.2.2 一维非齐次热传导方程混合问题的解法 83

3.2.3 Poisson方程边值问题的解法 87

习题3.2 91

3.3 非齐次边界条件问题的解法 92

3.3.1 边界条件的齐次化 92

3.3.2 方程和边界条件同时齐次化的方法 94

习题3.3 99

3.4 直角坐标系下高维问题的分离变量解法 100

3.4.1 齐次方程齐次边界条件问题 100

3.4.2 非齐次方程齐次边界条件问题的解法 106

3.4.3 非齐次边界条件问题的解 107

习题3.4 110

3.5 极坐标系下的分离变量法 110

3.5.1 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 110

3.5.2 周期边界条件问题的解法 115

习题3.5 120

3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法 球函数和柱函数 121

3.6.1 Bessel方程和Legendre方程的导出 121

3.6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 124

3.6.3 Legendre方程的级数解 Legendre多项式 127

3.6.4 Bessel方程的级数解 Bessel函数 130

3.6.5 圆盘中热传导方程的解 138

习题3.6 142

3.7 常微分方程的特征值问题 分离变量法的理论基础 142

3.7.1 Sturm-Liouville问题 142

3.7.2 Sturm-Liouville问题解的性质 144

第四章 积分变换法 147

4.1 Fourier变换法 147

4.1.1 Fourier变换的定义 147

4.1.2 Fourier变换的性质 149

4.1.3 多元函数的Fourier变换 153

4.1.4 函数Fourier变换的例子 155

4.1.5 用Fourier变换法求解偏微分方程的定解问题 157

习题4.1 167

4.2 Laplace变换法 168

4.2.1 Laplace变换和逆变换的定义 168

4.2.2 Laplace变换的性质 169

4.2.3 函数Laplace变换的例子 172

4.2.4 Laplace逆变换的求法 173

4.2.5 用Laplace变换法求解偏微分方程的定解问题 174

习题4.2 179

第五章 位势方程的基本解和Green函数解法 3类方程的总结 180

5.1 δ函数简介 180

5.1.1 δ函数的定义 180

5.1.2 δ函数的性质 181

5.1.3 多元δ函数 182

5.2 位势方程的Green公式和Green函数 183

5.2.1 Green公式及其推论 183

5.2.2 位势方程的基本解 184

5.2.3 位势方程的基本公式 186

5.2.4 Poisson方程的Green函数 189

5.2.5 解在无穷远处取零值的无界区域上的Green函数 192

5.2.6 一般情况下无界区域上的Green函数 194

习题5.2 195

5.3 利用Green函数求解Poisson方程边值问题的例子 195

5.3.1 上半空间中Poisson方程的Dirichlet问题 196

5.3.2 上半空间中Poisson方程的Neumann问题 197

5.3.3 球中Poisson方程的Dirichlet问题 198

习题5.3 201

5.4 二维Poisson方程的Green函数解法 201

5.4.1 求解区域为有界区域时的一些结果 202

5.4.2 求解区域为无界区域时的一些结果 203

5.4.3 用对称点方法求Green函数 205

5.4.4 用共形映照方法求Green函数 209

习题5.4 214

5.5 位势方程边值问题解的唯一性和对边界条件的稳定性 214

5.5.1 调和函数的平均值公式和极值原理 214

5.5.2 有界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性 217

5.5.3 无界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性 218

5.6 3类方程的总结 221

5.6.1 定解问题提法的差异 221

5.6.2 极值原理 224

5.6.3 解的光滑性 224

5.6.4 解对定解条件的依赖范围和解的扰动的传播速度 224

5.6.5 关于时间的反演 225

第六章 两个自变量的一阶偏微分方程组 227

6.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程组 227

6.1.1 特征理论和方程的分类 227

6.1.2 线性双曲型方程组的化简 230

6.1.3 用特征线法求解一阶线性偏微分方程Cauchy问题的例子 232

6.1.4 一阶线性双曲型方程组的Cauchy问题 234

习题6.1 235

6.2 两个自变量的一阶拟线性偏微分方程组 236

6.2.1 特征理论和方程组的分类 236

6.2.2 拟线性双曲型偏微分方程组的化简 237

6.2.3 拟线性双曲型方程组的Cauchy问题 240

习题6.2 241

部分习题参考答案或提示 242

参考书目 258