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第7章 多元函数微分学及其应用 1

7.1多元函数的概念 1

7.1.1平面点集的有关概念 1

7.1.2多元函数的概念 2

7.1.3多元函数的极限 4

7.1.4多元函数的连续性 6

习题7.1 7

7.2偏导数与全微分 8

7.2.1偏导数的概念 8

7.2.2偏导数的几何意义 11

7.2.3高阶偏导数 12

7.2.4全微分 13

习题 7.2 16

7.3多元复合函数求导法 17

7.3.1多元与一元的复合 17

7.3.2多元与多元的复合 19

7.3.3多元复合函数的高阶偏导数 20

7.3.4微分求导法——一阶微分的形式不变性 22

习题7.3 23

7.4隐函数求导法 24

7.4.1一个方程的情形 24

7.4.2方程组的情形 27

习题7.4 29

7.5多元函数微分学的几何应用 30

7.5.1空间曲线的切线与法平面 30

7.5.2曲面的切平面与法线 32

习题7.5 34

7.6方向导数与梯度 35

7.6.1方向导数 35

7.6.2梯度 38

习题7.6 39

7.7多元函数的极值及其求法 40

7.7.1多元函数的极值 40

7.7.2条件极值，拉格朗日（Lagrange）乘数法 43

习题7.7 46

7.8多元函数微分学应用举例 47

习题7.8 49

7.9本章小结 49

7.9.1基本要求 49

7.9.2内容提要 50

7.10总习题7 51

7.11本章附录 53

7.11.1最小二乘法 53

7.11.2二元函数的泰勒（Taylor）公式 54

7.11.3定理7.7.2的证明 55

第8章 重积分 58

8.1重积分的概念与性质 58

8.1.1重积分的定义 58

8.1.2重积分的性质 60

习题8.1 62

8.2二重积分的计算法 63

8.2.1利用直角坐标计算二重积分 63

8.2.2利用极坐标计算二重积分 70

8.2.3二重积分的换元法 74

习题8.2 77

8.3三重积分的计算法 80

8.3.1直角坐标系下三重积分的计算法 80

8.3.2柱面坐标系下三重积分的计算法 83

8.3.3球面坐标系下三重积分的计算法 85

习题8.3 89

8.4重积分的应用 91

8.4.1曲面的面积 91

8.4.2质心 93

8.4.3转动惯量 95

8.4.4引力 97

习题8.4 98

8.5应用举例 99

习题8.5 100

8.6本章小结 101

8.6.1基本要求 101

8.6.2内容提要 101

8.7总习题8 104

第9章 曲线积分与曲面积分 107

9.1曲线积分 107

9.1.1对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 107

9.1.2对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） 112

9.1.3两类曲线积分之间的联系 118

习题9.1 120

9.2格林公式及其应用 122

9.2.1格林公式 122

9.2.2平面上曲线积分与路径无关的条件 127

9.2.3全微分方程 132

习题9.2 134

9.3曲面积分 136

9.3.1对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 136

9.3.2对坐标的曲面积分（第二类曲面积分） 140

9.3.3两类曲面积分之间的联系 146

习题9.3 148

9.4高斯公式 通量与散度 149

9.4.1高斯公式 149

9.4.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 153

9.4.3通量与散度 154

习题9.4 155

9.5斯托克斯公式 环流量与旋度 157

9.5.1斯托克斯公式 157

9.5.2空间曲线积分与路径无关的条件 160

9.5.3环流量与旋度 161

9.5.4哈密顿算子 163

习题9.5 164

9.6曲线积分与曲面积分应用举例 165

习题9.6 166

9.7本章小结 167

9.7.1基本要求 167

9.7.2内容提要 167

9.8总习题9 171

第10章 无穷级数 173

10.1常数项级数的概念与性质 173

10.1.1常数项级数的概念 173

10.1.2收敛级数的基本性质 175

习题10.1 177

10.2常数项级数的审敛法 178

10.2.1正项级数及其审敛法 178

10.2.2交错级数及其审敛法 184

10.2.3绝对收敛与条件收敛 185

10.2.4绝对收敛级数的运算性质 186

习题10.2 189

10.3幂级数 191

10.3.1函数项级数的概念 191

10.3.2幂级数及其收敛性 191

10.3.3幂级数的性质 196

习题10.3 198

10.4将函数展开成幂级数 199

10.4.1泰勒级数 199

10.4.2将函数展开成幂级数 200

10.4.3函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 205

10.4.4欧拉公式 207

习题10.4 209

10.5傅里叶级数 209

10.5.1三角函数系的正交性 210

10.5.2将函数展开成傅里叶（Fourier）级数 211

10.5.3正弦级数与余弦级数 216

习题10.5 219

10.6一般周期函数的傅里叶级数 220

10.6.1周期为2l的周期函数的傅里叶级数 220

10.6.2傅里叶级数的复数形式 224

习题10.6 227

10.7无穷级数应用举例 227

习题10.7 230

10.8本章小结 230

10.8.1基本要求 230

10.8.2内容提要 230

10.9总习题10 233

第11章 复变函数与解析函数 236

11.1复数及其运算 236

11.1.1复数的概念及其表示法 236

11.1.2复数的代数运算 238

11.1.3复数的乘幂与方根 239

习题11.1 241

11.2复变函数 242

11.2.1复变函数的概念 242

11.2.2复变函数的极限与连续性 244

习题11.2 247

11.3解析函数 247

11.3.1复变函数的导数 247

11.3.2解析函数的概念 249

11.3.3函数解析的充要条件 250

习题11.3 252

11.4初等函数 253

11.4.1指数函数 253

11.4.2对数函数 254

11.4.3幂函数 254

11.4.4三角函数与双曲函数 255

11.4.5反三角函数与反双曲函数 256

习题11.4 257

11.5本章小结 257

11.5.1基本要求 257

11.5.2内容提要 258

11.6总习题11 259

第12章 复变函数的积分 261

12.1复变函数积分的概念 261

12.1.1复变函数积分的定义 261

12.1.2复变函数积分存在的条件及其计算法 262

12.1.3复变函数积分的基本性质 264

习题12.1 265

12.2积分基本定理 266

12.2.1单连通域内的柯西定理 266

12.2.2原函数与不定积分 267

12.2.3多连通域内的柯西定理 269

习题12.2 270

12.3积分基本公式 271

12.3.1柯西积分公式 271

12.3.2解析函数的高阶导数公式 273

习题12.3 276

12.4解析函数与调和函数的关系 277

12.4.1调和函数及其与解析函数的关系 277

12.4.2已知调和函数求解析函数 278

习题12.4 280

12.5本章小结 281

12.5.1基本要求 281

12.5.2内容提要 281

12.6总习题12 282

第13章 复变函数的级数与留数定理 285

13.1复变函数项级数 285

13.1.1复数项级数 285

13.1.2复变函数项级数 288

13.1.3幂级数的运算和性质 291

习题13.1 293

13.2泰勒级数 294

13.2.1泰勒级数定义 294

13.2.2求解析函数的泰勒展开式 295

习题13.2 297

13.3洛朗级数 297

13.3.1洛朗级数定义 297

13.3.2求函数的洛朗展开式 300

习题13.3 302

13.4留数与留数定理 303

13.4.1孤立奇点及其类型 303

13.4.2留数与留数定理 307

习题13.4 310

13.5本章小结 311

13.5.1基本要求 311

13.5.2内容提要 312

13.6总习题13 314

习题参考答案与提示 317

参考文献 340