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第7章 多元函数微分法及其应用 1

7.1多元函数的基本概念 1

7.1.1平面点集 1

7.1.2多元函数概念 4

7.1.3多元函数的极限 6

7.1.4多元函数的连续性 9

7.2偏导数 13

7.2.1偏导数的概念 13

7.2.2偏导数的几何意义 16

7.2.3高阶偏导数 18

7.3全微分 21

7.3.1全微分的概念 21

7.3.2全微分在近似计算中的应用 26

7.4多元复合函数的求导法则 30

7.4.1多元复合函数的微分法 30

7.4.2全微分形式不变性 35

7.4.3高阶微分 36

7.5隐函数的求导公式 39

7.5.1一个方程的情形 39

7.5.2方程组的情形 42

7.6多元函数微分学的几何应用 47

7.6.1空间曲线的切线与法平面 47

7.6.2曲面的切平面与法线 52

7.7方向导数与梯度 56

7.7.1方向导数 56

7.7.2梯度 59

7.8多元函数的极值及其应用 63

7.8.1多元函数的极值与最值 63

7.8.2条件极值·拉格朗日乘数法 67

7.9最小二乘法 72

总习题7 77

实验7多元函数的极限及偏导数的计算 81

第8章 重积分 83

8.1二重积分 83

8.1.1二重积分的概念 83

8.1.2二重积分的性质 86

8.1.3平面区域的表示 88

8.2二重积分的计算 91

8.2.1利用直角坐标计算二重积分 91

8.2.2利用极坐标计算二重积分 96

8.2.3一般变换计算二重积分 101

8.3三重积分 107

8.3.1三重积分的概念 107

8.3.2三重积分的计算 109

8.4重积分的应用 117

8.4.1曲面的面积 118

8.4.2质心 120

8.4.3转动惯量 123

8.4.4引力 124

总习题8 127

实验8重积分 130

第9章 曲线积分与曲面积分 132

9.1对弧长的曲线积分 132

9.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质 132

9.1.2对弧长的曲线积分的计算 134

9.2对坐标的曲线积分 139

9.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质 139

9.2.2对坐标的曲线积分的计算 142

9.2.3两类曲线积分之间的联系 147

9.3格林公式及其应用 151

9.3.1格林公式 151

9.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 155

9.3.3二元函数的全微分求积 158

9.4对面积的曲面积分 162

9.4.1对面积的曲面积分的概念与性质 162

9.4.2 对面积的曲面积分的计算 164

9.5对坐标的曲面积分 168

9.5.1对坐标的曲面积分的概念与性质 168

9.5.2对坐标的曲面积分的计算 173

9.5.3两类曲面积分之间的联系 175

9.6高斯公式 178

9.6.1高斯公式 178

9.6.2曲面积分与积分曲面无关的条件 181

9.6.3通量与散度 182

9.7斯托克斯公式 186

9.7.1斯托克斯公式 186

9.7.2空间曲线积分与路径无关的条件 191

9.7.3环流量与旋度 191

总习题9 194

实验9曲线积分与曲面积分 198

第10章 无穷级数 201

10.1常数项级数的概念与性质 202

10.1.1常数项级数 202

10.1.2收敛级数的基本性质 205

10.1.3柯西审敛原理 208

10.2正项级数 211

10.2.1比较审敛法 211

10.2.2比值审敛法和根值审敛法 216

10.2.3柯西积分审敛法 219

10.3任意项级数 221

10.3.1交错级数 221

10.3.2绝对收敛与条件收敛 222

10.4幂级数 228

10.4.1函数项级数的概念 228

10.4.2幂级数及其收敛性 229

10.4.3幂级数的运算 235

10.5函数展开成幂级数 239

10.5.1泰勒级数 239

10.5.2函数展开成幂级数的方法 242

10.5.3函数的幂级数展开式的应用 248

10.6傅里叶级数 250

10.6.1三角函数系及其正交性 251

10.6.2傅里叶级数 252

10.6.3傅里叶级数的收敛性 254

10.6.4正弦级数和余弦级数 258

10.7一般周期函数的傅里叶级数 264

10.7.1周期为2l的周期函数的傅里叶级数 264

10.7.2傅里叶级数的复数形式 267

总习题10 270

实验10无穷级数 274

第11章 微分方程 281

11.1微分方程的基本概念 281

11.2可分离变量的微分方程 286

11.2.1可分离变量的微分方程 287

11.2.2齐次方程 292

11.3一阶线性微分方程 296

11.3.1一阶线性方程的解法 296

11.3.2伯努利方程 301

11.4全微分方程 304

11.5可降阶的高阶微分方程 308

11.5.1y(n)=f（x）型的微分方程 309

11.5.2y"=f（x，y' 型的微分方程 310

11.5.3y"=f （y， y’）型的微分方程 312

11.6二阶线性微分方程 315

11.7二阶常系数齐次线性微分方程 320

11.8二阶常系数非齐次线性微分方程 325

11.8.1 f（x）二Pm （x） exx 型 326

11.8.2f（x）=eax [Pl（x）cosβ+ Pn （x） sinβx-型 329

11.8.3欧拉方程 331

11.9微分方程的幂级数解法 334

总习题11 337

实验11常微分方程的求解 339

参考答案 346