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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量的概念及其运算 1

1.向量的概念 1

2.向量的线性运算 2

3.向量的投影 5

4.向量的数量积与向量积 6

习题7-1（A） 9

习题7-1（B） 10

第二节 向量的坐标及用坐标研究向量 10

1.空间直角坐标系 10

2.向量的运算以及与向量有关量的坐标表示 13

习题7-2（A） 22

习题7-2（B） 23

第三节 平面 24

1.图形与方程 24

2.平面的方程 25

3.两平面之间的位置关系 29

习题7-3（A） 32

习题7-3（B） 33

第四节 空间直线 33

1.空间直线的一般式方程 33

2.空间直线的点向式方程和参数方程 34

3.两直线的夹角 37

4.直线与平面的夹角 38

5.平面束方程 39

习题7-4（A） 40

习题7-4（B） 41

第五节 曲面 42

1.柱面 42

2.旋转曲面 43

3.其他常见的一般二次曲面 47

习题7-5（A） 51

习题7-5（B） 52

第六节 空间曲线 52

1.空间曲线的一般方程 52

2.空间曲线的参数方程 53

3.空间曲线在坐标面上的投影 55

习题7-6（A） 58

习题7-6（B） 59

第七节 利用软件进行向量运算和画图 59

1.向量的运算 59

2.曲面的图形演示 60

总习题七 61

第八章 多元函数微分学 65

第一节 多元函数及其连续性 65

1.区域 65

2.二元函数 67

3.多元函数的极限 69

4.多元函数的连续性 71

习题8-1（A） 73

习题8-1（B） 74

第二节 偏导数 75

1.一阶偏导数 75

2.高阶偏导数 79

习题8-2（A） 81

习题8-2（B） 82

第三节 全微分 82

1.全微分的定义 83

2.可微与偏导数之间的关系 84

3.函数z=f（x，y）的局部线性化与全微分的应用 87

习题8-3（A） 90

习题8-3（B） 91

第四节 多元复合函数的求导法则 91

1.复合函数的微分法 92

2.全微分形式的不变性 97

习题8-4（A） 99

习题8-4（B） 100

第五节 隐函数的求导法则 100

1.一个方程时的情况 101

2.方程组时的情形 104

习题8-5（A） 106

习题8-5（B） 107

第六节 一元向量值函数 多元函数微分学在几何中的应用 107

1.一元向量值函数 曲线的向量值方程 107

2.空间曲线的切线方程与法平面方程 111

3.曲面的切平面与法线 114

习题8-6（A） 117

习题8-6（B） 118

第七节 方向导数与梯度 118

1.方向导数 118

2.梯度 122

3.场的简介 124

习题8-7（A） 124

习题8-7（B） 125

第八节 多元函数的极值与最值问题 125

1.多元函数的极值 126

2.多元函数的最值 128

3.条件极值与拉格朗日乘数法 132

4.数学建模的实例 136

习题8-8（A） 140

习题8-8（B） 140

第九节 利用软件计算偏导数 141

总习题八 142

第九章 重积分 146

第一节 二重积分的概念与性质 146

1.两个实际问题 146

2.二重积分的定义 148

3.二重积分的几何意义 149

4.二重积分的性质 150

习题9-1（A） 151

习题9-1（B） 152

第二节 二重积分的计算 153

1.直角坐标系下二重积分的计算 153

2.极坐标系下二重积分的计算 162

习题9-2（A） 167

习题9-2（B） 169

第三节 三重积分 170

1.三重积分的概念与性质 170

2.利用直角坐标计算三重积分 171

3.利用柱面坐标计算三重积分 176

4.利用球面坐标计算三重积分 179

习题9-3（A） 181

习题9-3（B） 183

第四节 重积分的应用 183

1.重积分的微元法 183

2.利用重积分计算曲面的面积 184

3.在物理上的应用 187

习题9-4（A） 193

习题9-4（B） 194

第五节 利用软件计算多元函数的积分 194

总习题九 195

第十章 曲线积分与曲面积分 199

第一节 对弧长的曲线积分 199

1.对弧长的曲线积分的定义 199

2.对弧长的曲线积分的性质 201

3.对弧长的曲线积分的计算 201

习题10-1（A） 205

习题10-1（B） 206

第二节 对坐标的曲线积分 206

1.引入——变力沿曲线作功问题 206

2.对坐标的曲线积分的定义与性质 207

3.对坐标的曲线积分的计算 209

4.第二型曲线积分的另外表示法 两类曲线积分之间的联系 214

习题10-2（A） 217

习题10-2（B） 218

第三节 格林公式 218

1.单连通区域与多连通区域 区域边界的正向 219

2.格林公式 220

3.平面上的曲线积分与路径无关的条件 225

4.全微分的求积 229

5.全微分方程 234

习题10-3（A） 236

习题10-3（B） 237

第四节 对面积的曲面积分 238

1.对面积的曲面积分的概念与性质 238

2.对面积的曲面积分的计算 239

习题10-4（A） 241

习题10-4（B） 242

第五节 对坐标的曲面积分 242

1.有向曲面及其侧 243

2.对坐标的曲面积分的定义 245

3.对坐标的曲面积分的性质 248

4.对坐标的曲面积分的计算 248

5.对坐标的曲面积分的另外表示法 两类曲面积分之间的联系 251

习题10-5（A） 254

习题10-5（B） 255

第六节 高斯公式与斯托克斯公式 256

1.高斯公式 256

2.通量与散度 260

3.斯托克斯公式 261

4.环流量与旋度 263

习题10-6（A） 265

习题10-6（B） 266

总习题十 267

第十一章 无穷级数 272

第一节 常数项级数 272

1.数项级数的概念 272

2.收敛级数的性质 275

习题11-1（A） 278

习题11-1（B） 279

第二节 正项级数收敛的判别法 280

1.基本定理 280

2.比较判别法 280

3.比值判别法与根值判别法 285

习题11-2（A） 288

习题11-2（B） 289

第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 290

1.任意项级数的绝对收敛 290

2.交错级数 291

3.条件收敛 293

4.绝对收敛级数的性质 294

习题11-3（A） 295

习题11-3（B） 295

第四节 幂级数 296

1.函数项级数的概念 296

2.幂级数及其收敛域 297

3.幂级数的算术运算性质与和函数的分析性质 303

习题11-4（A） 307

习题11-4（B） 308

第五节 函数的幂级数展开 309

1.函数的泰勒级数及其收敛 309

2.函数展开成幂级数的方法 312

3.函数的幂级数展开的应用 318

习题11-5（A） 321

习题11-5（B） 322

第六节 傅里叶级数 322

1.三角函数系与三角级数 323

2.周期函数的傅里叶级数 324

3.周期函数的傅里叶级数展开 325

4.奇偶函数的傅里叶级数 327

5.一般周期函数的傅里叶级数 330

习题11-6（A） 334

习题11-6（B） 334

第七节 利用软件求泰勒展式与级数求和 335

1.函数的泰勒展式 335

2.求和 336

总习题十一 337

附录 习题参考答案与提示 340

参考书目 372