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第6章 常微分方程 1

6.1常微分方程的概念 1

6.1.1常微分方程的概念 1

6.1.2微分方程模型举例 6

习题6.1 7

6.2一阶微分方程的解法 7

6.2.1分离变量法 7

6.2.2变量代换法 10

6.2.3常数变易法 14

习题6.2 18

6.3二阶线性微分方程的解法 19

6.3.1二阶线性微分方程解的结构 20

6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法 21

6.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 24

习题6.3 27

小结 28

练习六 29

阅读材料1高阶线性微分方程解的结构 31

阅读材料2欧拉方程 33

第7章 向量代数与空间解析几何 35

7.1空间直角坐标系 35

7.1.1空间直角坐标系 35

7.1.2空间中两点间的距离 36

7.1.3曲面及其方程 37

7.1.4空间曲线及其方程 45

习题7.1 48

7.2向量及其代数性质 49

7.2.1向量的概念 49

7.2.2向量及其线性运算 50

习题7.2 55

7.3向量的数量积、向量积及混合积 56

7.3.1向量的数量积 56

7.3.2向量的向量积 58

习题7.3 63

7.4空间中的平面 63

7.4.1平面及其方程 64

7.4.2两平面之间的夹角 67

7.4.3点到平面的距离 69

习题7.4 70

7.5空间的直线 70

7.5.1空间直线的方程 70

7.5.2直线与直线和平面的夹角 73

习题7.5 76

小结 77

练习七 81

阅读材料1平面束 83

阅读材料2直纹面 85

第8章 多元函数微分学 89

8.1多元函数的基本概念 89

8.1.1平面区域的概念 89

8.1.2二元函数的概念 92

8.1.3二元函数的极限 94

8.1.4二元函数的连续性 95

习题8.1 97

8.2偏导数 98

8.2.1偏导数的概念 98

8.2.2高阶偏导数 102

习题8.2 105

8.3全微分与链式法则 105

8.3.1全微分 105

8.3.2链式法则 110

8.3.3全微分形式的不变性 116

习题8.3 117

8.4微分法在几何上的应用 118

8.4.1空间曲线的切线与法平面 118

8.4.2曲面的切平面与法线 120

习题8.4 123

8.5多元函数的极值 123

8.5.1多元函数的极值的概念 123

8.5.2多元函数的最大值和最小值 126

8.5.3条件极值与拉格朗日乘数法 127

习题8.5 131

小结 132

练习八 136

阅读材料1方向导数与梯度 139

阅读材料2最小二乘法 143

第9章 重积分 146

9.1二重积分 146

9.1.1二重积分的概念与性质 146

9.1.2在直角坐标系下二重积分的计算 149

9.1.3在极坐标系下二重积分的计算 157

习题9.1 162

9.2三重积分 165

9.2.1三重积分的概念 165

9.2.2直角坐标系下三重积分的计算 167

9.2.3柱面坐标系下三重积分的计算 169

9.2.4球面坐标系下三重积分的计算 172

习题9.2 175

9.3重积分的应用 176

9.3.1曲面的面积 176

9.3.2物体的质心 179

9.3.3物体的转动惯量 182

习题9.3 183

小结 184

练习九 185

阅读材料1重积分的换元法 188

阅读材料2无穷积分？+∞-∞e-x2dx的计算 191

第10章 曲线积分与曲面积分 193

10.1第一型曲线积分与第一型曲面积分 193

10.1.1第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念 193

10.1.2第一型曲线（曲面）积分的性质 195

10.1.3第一型曲线（曲面）积分的计算 196

习题10.1 200

10.2第二型曲线积分 201

10.2.1第二型曲线积分的概念与性质 201

10.2.2第二型曲线积分的计算 204

习题10.2 207

10.3格林公式及其应用 208

10.3.1格林公式 208

10.3.2平面曲线积分与路径无关的条件 212

习题10.3 215

10.4第二型曲面积分 216

10.4.1曲面的侧与有向曲面 216

10.4.2第二型曲面积分的概念与性质 217

10.4.3第二型曲面积分的计算 220

习题10.4 223

10.5高斯公式与斯托克斯公式 223

10.5.1高斯公式 223

10.5.2斯托克斯公式 226

10.5.3空间曲线积分与路径无关的条件 228

习题10.5 230

小结 230

练习十 234

阅读材料1场论初步 236

阅读材料2数学王子——高斯 239

第11章 级数 243

11.1数列 244

11.1.1数列及其极限 244

11.1.2数列极限的计算 245

习题11.1 248

11.2常数项级数的概念与性质 249

11.2.1常数项级数的概念 249

11.2.2收敛级数的基本性质 251

习题11.2 253

11.3常数项级数的收敛性判别法则 254

11.3.1正项级数及其收敛性判别法 254

11.3.2交错级数及其收敛性判别定理 259

11.3.3绝对收敛与条件收敛 261

习题11.3 263

11.4幂级数 264

11.4.1函数项级数的概念 264

11.4.2幂级数及其收敛域 265

11.4.3幂级数的运算 268

习题11.4 270

11.5泰勒级数与函数展开成幂级数 270

11.5.1泰勒级数 271

11.5.2泰勒多项式 272

11.5.3泰勒级数的收敛性 273

11.5.4函数展开成幂级数的方法 276

习题11.5 279

11.6傅里叶级数 280

11.6.1三角级数和三角函数系的正交性 280

11.6.2周期为2π的函数的傅里叶级数展开 281

11.6.3正弦级数与余弦级数 286

11.6.4周期为2l的函数的傅里叶级数展开 289

习题11.6 291

小结 292

练习十一 294

阅读材料 幂级数的应用 296

参考答案 299