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第一篇 复变函数理论 1

第1章 复数和复变函数 1

1.1复数及其运算 1

1.2复变函数 3

1.3解析函数 6

1.4解析函数的物理意义 13

1.5初等解析函数 15

第2章 复变函数的积分 19

2.1复积分的概念与性质 19

2.2柯西积分定理 21

2.3柯西积分公式 24

第3章 复变函数的级数 29

3.1复数项级数的基本性质 29

3.2幂级数 32

3.3解析函数的泰勒级数展开 36

3.4解析函数的洛朗级数展开 40

3.5孤立奇点和无穷远点 44

3.6解析延拓和Г函数 49

第4章 留数理论及其应用 53

4.1留数和留数定理 53

4.2留数的计算 55

4.3应用留数理论计算实变函数定积分 59

4.4应用留数理论计算实变函数无穷积分 61

第二篇 积分变换理论 65

第5章 傅里叶变换 65

5.1完备正交函数集 65

5.2傅里叶级数 67

5.3傅里叶积分和傅里叶变换 75

5.4 δ函数及其傅里叶积分 82

第6章 拉普拉斯变换 87

6.1运算法 87

6.2拉普拉斯变换的概念 89

6.3拉普拉斯变换的性质 91

6.4拉普拉斯变换的逆变换 93

第7章Z变换 100

7.1 Z变换的概念 100

7.2 Z变换的性质 103

7.3逆Z变换 105

7.4 Z变换的应用 108

第三篇 数学物理方程与特殊函数理论 112

第8章 数学物理方程导出与定解理论 112

8.1数学物理方程导出 112

8.2定解条件 122

8.3数学物理方程定解理论 129

8.4二阶线性偏微分方程分类 130

第9章 行波法 136

9.1二阶线性偏微分方程的通解和行波解 136

9.2达朗贝尔公式 138

9.3泊松公式 142

9.4纯强迫振动 147

9.5推迟势 151

第10章 分离变量法 154

10.1一维波动方程的分离变量法 154

10.2一维热传导方程的分离变量 158

10.3二维和三维问题的分离变量 161

10.4圆域上二维拉普拉斯方程的分离变量 165

10.5非齐次方程与非齐次边界条件 169

第11章 正交曲线坐标系中的分离变量 177

11.1正交曲线坐标系 177

11.2正交曲线坐标系中的分离变量 181

第12章 常微分方程的级数解法及特殊函数理论 189

12.1常微分方程的级数解法 189

12.2常点邻域上的级数解 193

12.3勒让德多项式的性质 199

12.4连带勒让德多项式 205

12.5球函数及其性质 208

12.6正则奇点邻域上的级数解 211

12.7贝塞尔函数的性质 217

12.8贝塞尔方程本征值问题 222

12.9虚宗量贝塞尔函数 227

12.10球贝塞尔函数 229

12.11施图姆-刘维尔型方程与本征值问题 232

第13章 柱坐标系和球坐标系中的分离变量解法 237

13.1拉普拉斯方程定解问题求解 237

13.2输运方程定解问题求解 249

13.3波动方程定解问题求解 260

第14章 积分变换法 265

14.1傅里叶变换法解数学物理定解问题 265

14.2拉普拉斯变换法解数学物理定解问题 270

第15章 格林函数法 274

15.1无界问题的格林函数 274

15.2泊松方程边值问题的格林函数法 284

15.3电像法与狄利克雷问题的格林函数 288

15.4有限空间中含时间的格林函数 293

第16章 保角变换法 296

16.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 296

16.2常用的保角变换 298

习题参考答案 305

参考文献 320