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预篇 1

1.集与函数 1

2.实数与复数 2

3.单实变连续函数 3

4.导数与原函数概念的推广 5

5.平面拓扑 8

第一章 求上界，求下界 11

1.初等运算 11

2.级数与极限 14

3.中值定理 16

4.柯西-施瓦茨不等式 19

习题 21

第二章 方程的根的逼近 28

1.问题的地位 28

2.试位法 29

3.用迭代法解x = g（x） 30

4.牛顿法 32

附录 多项式根的分离法 35

习题 40

第三章 渐近展开式 44

1.导言 44

2.比较函数 45

3.比较关系式 46

4.比较关系式的计算 47

5.ε中阶的关系 49

6.渐近展开式 50

7.渐近展开式的计算 53

8.隐函数的渐近展开式 56

9.反常积分的收敛性 59

10.原函数的渐近展开式 63

11.级数的收敛性与部分和的渐近展开式 69

附录 牛顿多边形与皮瑟展开式 75

习题 81

第四章 含一个参变数的积分 89

1.导言 89

2.拉普拉斯法 89

3.欧拉积分 93

4.平稳相位法 99

习题 103

第五章 一致逼近 109

1.两函数的偏差 109

2.一致收敛与简单收敛 110

3.一致收敛序列的性质 112

4.正规化 116

5.魏尔斯特拉斯逼近定理 121

附录 伯恩斯坦多项式 123

习题 124

第六章 解析函数 128

1.泰勒级数 128

2.幂级数 129

3.孤立零点原理 131

4.幂级数代入另一幂级数 132

5.解析函数 136

6.解析函数的导数与原函数 138

7.解析开拓原理 141

8.解析函数的实例 142

9.最大模原理 149

习题 152

第七章 柯西定理 156

1.道路与环路 156

2.沿道路的积分 158

3.解析函数的原函数问题 160

4.道路的同伦与环路的同伦，单连通区域 161

5.柯西定理 163

6点关于环路的指标 164

7.柯西公式 168

8.柯西不等式…刘维尔定理 172

9.柯西条件 172

10.魏尔斯特拉斯收敛定理 176

习题 179

第八章 解析函数的奇点，留数 184

1.解析开拓与奇点 184

2.孤立奇点：洛朗级数 186

3.解析函数在孤立奇点的邻域中的研究 189

4.留数定理 192

5.留数定理对计算积分的应用 194

6.留数定理对解方程的应用 197

7.解析函数的反演：I局部问题 201

8.解析函数的反演：Ⅱ整体问题 203

9.对数函数 206

10.对计算积分的应用 212

11.对无穷乘积的应用 215

习题 218

第九章 解析函数对逼近问题的应用 226

1.鞍点法 226

2.鞍点法应用的实例 232

3.欧拉展开式 235

4.复域中的伽马函数 238

5.伯努利数与多项式 242

6.伯努利多项式的三角展开式 244

7.欧拉-麦克劳林公式 248

8.傅里叶级数与用三角多项式的逼近 253

9.平均平方逼近与傅里叶级数 257

10.傅里叶系数与正规性质 260

附录 龙格现象 263

习题 265

第十章 保形表示 276

1.保形映射的特性 276

2.保形表示问题 278

3.分式线性变换 279

4.保形表示的实例 281

5.施瓦茨-克里斯托费尔变换 283

6.对称原理 286

7.椭圆函数与保形表示 287

习题 291

第十一章 微分方程 299

1.解与近似解 299

2.近似解的比较 300

3.柯西-利普希茨方法 303

4.对微分方程组与高阶微分方程的推广 307

5.复域中的微分方程 311

6.解与初始条件和参变量的相关性 315

习题 317

第十二章 线性微分方程 320

1.线性微分方程的解的存在域 320

2.实域中线性微分方程组的预解矩阵 322

3.常系数线性微分方程 327

4.周期系数线性微分方程组 329

5.复域中线性微分方程 330

习题 332

第十三章 线性微分方程组的摄动 335

1.微分方程的解的稳定性 335

2.与线性方程相接近方程的解的稳定性 336

3.条件稳定性 339

4.两变数自治系统的临界点 345

习题 351

第十四章 二阶线性微分方程 355

1.主要间题 355

2.一般性质 356

3.刘维尔变换 357

4.解的渐近展开式 358

5.对复数域的推广 363

6.含一个参变数的二阶方程 366

7.振动定理与比较定理 368

8.边值条件 372

9.周期系数二阶线性方程 375

习题 381

第十五章 贝塞尔函数 387

1.用含一个参变数的积分解线性微分方程 387

2.汉克尔函数 388

3.汉克尔函数的解析开拓与渐近展开式 390

4.贝塞尔函数与诺伊曼函数 393

5.整数指标的贝塞尔函数 395

习题 396

索引 399

参考文献 408

主要公式 410

译后记 417